Преподаватель кружка по теории вероятностей откинулся в кресле и посмотрел на экран. Список записавшихся готов. Всего получилось n человек. Только они пока не по алфавиту, а в случайном порядке, в каком они приходили на занятие.
  "Надо отсортировать их в алфавитном порядке, – подумал преподаватель. – Пойду по порядку сверху вниз, и, если нужно, буду переставлять фамилию ученика вверх в подходящее место. Каждую фамилию придётся переставить не более одного раза".
  Докажите, что математическое ожидание числа фамилий, которые не придётся переставлять, равно  1 + ½ + ⅓ + ... + ¹/_n.

   Решение

Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Пусть точки A , B , C лежат на окружности, а прямая b касается этой окружности в точке B . Из точки P , лежащей на прямой b , опущены перпендикуляры PA₁ и PC₁ на прямые AB и BC соответственно (точки A₁ и C₁ лежат на отрезках AB и BC ). Докажите, что A₁C₁ AC .

Решение

Поскольку PC₁B = PA₁B = 90^o , четырёхугольник PA₁C₁B вписан. Значит, CC₁A₁ = 180^o - A₁C₁B = A₁PB = 90^o - A₁BP . С другой стороны, A₁BP = ACB = AB . Поэтому CC₁A₁ = A₁PB = 90^o - ACC₁ , то есть прямые A₁C₁ и AC пересекаются под прямым углом.

Источники и прецеденты использования