Задача 115397

Темы:    [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Ограниченность, монотонность ] [ Возрастание и убывание. Исследование функций ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Условие

Автор: Голованов А.С.

Последовательность a₁,a₂,.. такова, что a₁(1,2) и a_k+1=a_k+ при любом натуральном  k . Докажите, что в ней не может существовать более одной пары членов с целой суммой.

Решение

Положим b_k=a_k-k . Тогда

b_k+1 = b_k-1 + = b_k - = b_k ( 1 - ).
Отсюда очевидной индукцией по k получаем, что b_k>0 (поскольку b₁>0 ). Кроме того, b_k+1= b_k - <b_k . Отсюда, в частности, следует, что b_k b₁ < 1 .
Заметим, что b₂=a₁+-2=(-)² . Выражение в скобках положительно и возрастает, когда a₁ пробегает интервал  (1,2) ; тогда 0=1+-2<b₂<2+-2= . Таким образом, b_k b₂< при k 2 .
Теперь, если a_k+a_j  — целое число, то b_k+b_j  — также целое. Значит, одно из чисел b_k , b_j (для определенности  b_k ) не меньше  ; тогда k=1 , и b_j=1-b₁ . Но таких чисел  j не больше одного, так как последовательность  (b_i) убывает. Из этого и следует утверждение задачи.
Замечание. Можно показать, что количество пар с целой суммой будет конечным при любом a₁>1 .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2008-2009
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	06.4.11.2