Выбрано 6 задач 
Убрать все задачи
Точка M – середина стороны AC треугольника ABC. На отрезках AM и CM выбраны точки P и Q соответственно таким образом, что PQ = AC/2. Описанная окружность треугольника ABQ второй раз пересекает сторону BC в точке X, а описанная окружность треугольника BCP, второй раз пересекает сторону AB в точке Y. Докажите, что четырёхугольник BXMY – вписанный.
Барон Мюнхгаузен придумал теорему: если многочлен $x^n - a x^{n-1} + bx^{n-2} + \ldots $ имеет $n$ натуральных корней, то на плоскости найдутся $a$ прямых, у которых ровно $b$ точек пересечения друг с другом. Не ошибается ли барон?
Даны 1000 линейных функций: fk(x) = pkx + qk (k = 1, 2, ..., 1000). Нужно найти значение их композиции f(x) = f1(f2(f3(...f1000(x)...))) в точке x0. Докажите, что это можно сделать не более чем за 30 стадий, если на каждой стадии можно параллельно выполнять любое число арифметических операций над парами чисел, полученных на предыдущих стадиях, а на первой стадии используются числа p1, p2, ..., p1000, q1, q2, ..., q1000, x0.
Дан треугольник ABC, O – центр его описанной окружности. Проекции точек D и X на стороны треугольника лежат на прямых l и L, причём
l || XO. Докажите, что прямая L образует равные углы с прямыми AB и CD.
Докажите, что в неравнобедренном треугольнике одна из окружностей, касающихся вписанной и описанной окружностей внутренним, а одной из вневписанных внешним образом, проходит через вершину треугольника.
Найдите все такие натуральные n, что при некоторых отличных от нуля действительных числах a, b, c, d многочлен (ax + b)1000 – (cx + d)1000 после раскрытия скобок и приведения всех подобных слагаемых имеет ровно n ненулевых коэффициентов.
|
|
 |
Условие
Найдите все такие натуральные n, что при некоторых отличных от нуля действительных числах a, b, c, d многочлен (ax + b)1000 – (cx + d)1000 после раскрытия скобок и приведения всех подобных слагаемых имеет ровно n ненулевых коэффициентов.
Решение
Ясно, что существуют требуемые многочлены с 1001 и 1000 ненулевыми коэффициентами (например, (2x + 2)1000 – (x + 1)1000 и
(2x + 1)1000 – (x + 1)1000).
Предположим, что в нашем многочлене есть два коэффициента, равных нулю – при xi и xj (i > j). Тогда aib1000–i = cid1000–i,
ajb1000–j = cjd1000–j, то есть Отсюда
При замене ax + b на (– a)x + (–b) наш многочлен не изменится. Поэтому можно считать, что a = c. Тогда, если b = d, то итоговый многочлен нулевой, а если d = – b, то в полученном многочлене (ax + b)1000 – (ax – b)1000 обнуляются в точности коэффициенты при чётных степенях x, то есть получается 500 ненулевых коэффициентов.
Ответ
n = 500, 1000, 1001.
