Задача 115448

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Условие

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с диаметром AD ; O  — точка пересечения его диагоналей AC и BD является центром другой окружности, касающейся стороны BC . Из вершин B и С проведены касательные ко второй окружности, пересекающиеся в точке T . Докажите, что точка T лежит на отрезке AD .

Решение

Первый способ. Пусть прямые АВ и CD пересекаются в точке Е (см. рис. 11.5а). Заметим, что ACD = ABD = 90^o (вписанные углы, опирающиеся на диаметр). Тогда AC и BD  — высоты треугольника DAE , а точка О является точкой пересечения высот этого треугольника (ортоцентром). Следовательно, EF  — еще одна высота треугольника DAE  — содержит точку О .
Докажем, что вторая окружность, упомянутая в условии задачи, совпадает с окружностью, вписанной в треугольник ВСF .
Воспользуемся вспомогательным утверждением: высоты треугольника DAE являются биссектрисами треугольника BCF (его ортотреугольника) (**). Следовательно, точка пересечения высот треугольника DAE (точка O ) является центром окружности, вписанной в треугольник BCF . Тогда вписанная окружность совпадает с окружностью, заданной в условии, поскольку эти окружности имеют общий центр и обе касаются прямой ВС .
Таким образом, касательные к окружности, проведенные из точек В и С , являются сторонами треугольника BCF и пересекаются на стороне AD в точке F , то есть точка F совпадает с точкой T . Следовательно, точка T лежит на диаметре AD , что и требовалось.
(**) Для доказательства этого утверждения достаточно показать, что FBA = EBC (см. рис. 11.5 а). Это, в свою очередь, следует из того, что каждый из этих углов равен углу ADE . Действительно, EBC = 90^o - CBD = 90^o - CAD = ADE . Аналогично, если рассмотреть окружность, проходящую через точки B , F , D и E , получим, что EBC = ADE .
Другой возможный способ — доказать, что каждый из треугольников ABF и ВЕС подобен треугольнику AED .
Второй способ.

Пусть точка T не лежит на отрезке AD . Тогда прямая CT пересекает AD в некоторой точке K , а прямая BT пересекает AD в точке P (см. рис. 11.5б).
Используя то, что СА  — биссектриса угла BCK и свойство углов, вписанных в окружность, получим: ACK = BCA = BDA , следовательно, около четырёхугольника OCDK можно описать окружность. При этом, угол OCD  — прямой (вписанный и опирается на диаметр AD ). Значит, и угол OKD  — также прямой.
Аналогично доказывается, что угол OPА  — прямой.
Таким образом, через точку О проходят два перпендикуляра к одной прямой AD , что невозможно. Значит, точки P и K совпадают с точкой T , что и требовалось.
При решении первым способом от учащихся не требуется доказательство вспомогательного утверждения (если оно сформулировано), а при решении вторым способом — не требуется рассмотрения различных случаев расположения точки Т относительно прямой AD .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2009
Класс
Класс	11
задача
Номер	06.4.11.5