|
|
 |
Условие
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с диаметром AD ; O — точка пересечения его диагоналей AC и BD является центром другой окружности, касающейся стороны BC . Из вершин B и С проведены касательные ко второй окружности, пересекающиеся в точке T . Докажите, что точка T лежит на отрезке AD .
Решение
Первый способ. Пусть
прямые АВ и CD пересекаются в точке Е (см. рис. 11.5а).
Заметим, что ACD =
ABD = 90o (вписанные углы,
опирающиеся на диаметр). Тогда AC и BD — высоты треугольника
DAE , а точка О является точкой пересечения высот этого
треугольника (ортоцентром). Следовательно, EF — еще
одна высота треугольника DAE — содержит точку О .
Докажем, что вторая окружность,
упомянутая в условии задачи, совпадает с окружностью, вписанной в
треугольник ВСF .
Воспользуемся вспомогательным
утверждением: высоты треугольника DAE являются биссектрисами
треугольника BCF (его ортотреугольника) (**).
Следовательно, точка пересечения высот треугольника DAE (точка
O ) является центром окружности, вписанной в треугольник BCF .
Тогда вписанная окружность совпадает с окружностью, заданной в
условии, поскольку эти окружности имеют общий центр и обе касаются
прямой ВС .
Таким образом, касательные к окружности, проведенные из точек В
и С , являются сторонами треугольника BCF и пересекаются на
стороне AD в точке F , то есть точка F совпадает с точкой
T . Следовательно, точка T лежит на диаметре AD , что и
требовалось.
(**) Для доказательства этого утверждения достаточно показать, что FBA
=
EBC (см. рис. 11.5 а). Это, в свою очередь, следует из
того, что каждый из этих углов равен углу ADE . Действительно,
EBC =
90o -
CBD = 90o -
CAD =
ADE . Аналогично, если рассмотреть
окружность, проходящую через точки B , F , D и E , получим,
что
EBC =
ADE .
Другой возможный способ —
доказать, что каждый из треугольников ABF и ВЕС подобен
треугольнику AED .
Второй способ.
Пусть точка T не лежит на отрезке AD . Тогда прямая CT пересекает AD в некоторой точке K , а прямая BT пересекает AD в точке P (см. рис. 11.5б).
Используя то, что СА — биссектриса угла BCK и свойство углов, вписанных в окружность, получим:
Аналогично доказывается, что угол OPА — прямой.
Таким образом, через точку О проходят два перпендикуляра к одной прямой AD , что невозможно. Значит, точки P и K совпадают с точкой T , что и требовалось.
При решении первым способом от учащихся не требуется доказательство вспомогательного утверждения (если оно сформулировано), а при решении вторым способом — не требуется рассмотрения различных случаев расположения точки Т относительно прямой AD .
