Тело в форме тетраэдра ABCD с одинаковыми рёбрами поставлено гранью ABC на плоскость. Точка F – середина ребра CD, точка S лежит на прямой AB,  AB = 2BS,  точка B лежит между A и S. В точку S сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку F, чтобы пройденный им путь был минимальным?

   Решение

В треугольнике ABC известно, что AB = 10, BC = 24, а медиана BD равна 13. Окружности, вписанные в треугольники ABD и BDC касаются медианы BD в точках M и N соответственно. Найдите MN.

   Решение

Через вершины B и C треугольника ABC проведена окружность, которая пересекает сторону AB в точке K и сторону AC в точке L. Найдите AB, если AK = KB, AL = l, BCK = , CBL = .

   Решение

Показать, что если  a > b > 0,  то разность между средним арифметическим и средним геометрическим этих чисел находится между     и  

   Решение

Сумма трёх положительных углов равна 90^o. Может ли сумма косинусов двух из них быть равна косинусу третьего?

   Решение

AA1 — высота остроугольного треугольника ABC , H — точка пересечения высот, O — центр окружности, описанной около треугольника ABC . Найдите OH , если известно, что AH=3 , A1H=2 , а радиус окружности равен 4.

   Решение

У каждого жителя города Тьмутаракань есть свои тараканы, не у всех поровну. Два таракана являются товарищами, если у них общий хозяин (в частности, каждый таракан сам себе товарищ). Что больше: среднее количество тараканов, которыми владеет житель города, или среднее количество товарищей у таракана?

   Решение

Темы:    [ Классические неравенства (прочее) ] [ Средние величины ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

У каждого жителя города Тьмутаракань есть свои тараканы, не у всех поровну. Два таракана являются товарищами, если у них общий хозяин (в частности, каждый таракан сам себе товарищ). Что больше: среднее количество тараканов, которыми владеет житель города, или среднее количество товарищей у таракана?

Решение

  Пусть в городе проживает n жителей, и пусть у i-го жителя a_i тараканов. Тогда среднее число тараканов у жителя города равно     а среднее число товарищей у таракана равно  
  В силу неравенства между средним арифметическим и средним квадратичным второе число больше (равенство не достигается, потому что оно возможно только при  a₁ = ... = a_n,  что противоречит условию).

Ответ

Среднее количество товарищей у тараканов больше среднего количества тараканов у жителя города.

Замечания

Задача объясняет "закон подлости": мы обычно ездим в автобусах, более переполненных, чем в среднем, и стоим в очередях, более длинных, чем средняя.

Источники и прецеденты использования