Задача 115609

Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Перегруппировка площадей ] [ Шестиугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Дан выпуклый шестиугольник, каждая диагональ которого, соединяющая противоположные вершины, делит его площадь пополам.
Докажите, что эти диагонали пересекаются в одной точке.

Решение

  Пусть диагональ AD выпуклого шестиугольника ABCDEF пересекается с диагоналями BE и CF в точках X и Y соответственно, а диагонали BE и CF пересекаются в точке Z, причём точка X лежит между A и Y, а Z – между E и X. Тогда  S_ABX = S_XDE,  S_BCZ = S_ZEF,  S_CDY = S_YAF  (например, площадь каждого из треугольников ABX и XDE равна разности половины площади данного шестиугольника и четырёхугольника BCDX). Поэтому
AX·BX = DX·EX > DY·EZ,  FZ·EZ = CZ·BZ > BX·CY,  CY·DY = AY·FY > AX·FZ,  значит,  AX·BX·FZ· EZ·CY·DY > DY·EZ·BX·CY·AX·FZ, что невозможно. Следовательно, отрезки AD, BE и CF пересекаются в одной точке.
  Аналогично разбираются остальные случаи.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3359