Задача 115615

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

На сторонах AB, AC, BC равностороннего треугольника ABC, сторона которого равна 2, выбрали точки C₁, B₁, A₁ соответственно.
Какое наибольшее значение может принимать сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники AB₁C₁, A₁BC₁, A₁B₁C.

Решение

  Пусть окружность радиуса r_a, вписанная в треугольник AB₁C₁, касается сторон AB и AC в точках M и P соответственно, а отрезка B₁C₁ – в точке A₂. Аналогично определим r_b, r_c и точки N, K, L, Q, B₂ и C₂. Тогда    
  Сумма  r_a + r_b + r_c  максимальна, если максимальна сумма  AM + AP + BN + BK + CL + CQ = (AB + BC + AC) – (MN + KL + PQ),  а значит, минимальна сумма
MN + KL + PQ = (C₁M + C₁N) + (A₁K + A₁L) + (B₁Q + B₁P) = (C₁A₂ + C₁B₂) + (A₁B₂ + A₁C₂) + (B₁C₂ + B₁A₂) = A₁B₁ + B₁C₁ + A₁C₁,  то есть когда минимален периметр треугольника A₁B₁C₁.
  Известно (см. задачу 55563), что из всех треугольников, вписанных в данный остроугольный треугольник, наименьший периметр имеет ортотреугольник. Поскольку треугольник ABC равносторонний, его высоты являются медианами, значит, в нашем случае минимальный периметр имеет треугольник с вершинами в серединах сторон данного треугольника ABC. Этот минимальный периметр равен 3. Следовательно,  

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3365