Задача 115641

Темы:    [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC известно, что AC= . Докажите, что центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC , середины сторон AB и BC и вершина B лежат на одной окружности.

Решение

Пусть BK — биссектриса треугольника ABC . Обозначим AB=c , BC=a . Тогда AC= . По свойству биссектрисы треугольника

==,
значит, AK= и CK= .
Пусть M и N — середины сторон соответственно AB и BC треугольника ABC , O — центр его описанной окружности, I — центр вписанной окружности. Обозначим углы при вершинах A , B и C треугольника ABC через α , β и γ соответственно.
Центр описанной окружности треугольника есть точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, поэтому OM AB и ON BC . Из точек M и N отрезок OB виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности S1 с диаметром OB .
Центр вписанной окружности треугольника есть точка пересечения биссектрис, поэтому AI — биссектриса угла BAC , а BI — биссектриса угла ABC . Тругольники AMI и AKI равны по двум сторонам и углу между ними ( AM=AK= , MAI = KAI = ). Следовательно,
MIK = 2 AIK = 2( BAI+ ABI)= 2(+)=α+β,
значит,
BIM = 180^o- MIK = 180^o-α-β= γ.

Отрезок MN — средняя линия треугольника ABC , поэтому MN || AC , значит, BNM = ACB = γ = BIM .
Таким образом, из точек N и I , лежащих по одну сторону от прямой BM , отрезок BM виден под одним и тем же углом, значит, точки B , M , I и N лежат на одной окружности S2 .
Поскольку через точки B , M и N , не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность, окружности S1 и S2 совпадают. Следовательно, точки B , M , N , O и I лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3430