ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115687
Темы:    [ Ломаные ]
[ Пятиугольники ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Замкнутая пятизвенная ломаная образует равноугольную звезду (см. рис.).
Чему равен периметр внутреннего пятиугольника ABCDE, если длина исходной ломаной равна 1?


Решение

  Пусть K, L, M, N и O – вершины звезды, лежащие против сторон соответственно AB, BC, CD, DE и EA внутреннего пятиугольника ABCDE. Как известно, сумма углов пятиконечной звезды равна 180° (см. задачу 53380). Поскольку углы при вершинах равны, то каждый из них равен 36°. По теореме о внешнем угле треугольника  ∠KBA = 72°.  Отсюда следует, что треугольники AKB, BLC, CMD, DNE и AOE – равнобедренные, с углами 36°, 72°, 72°. Следовательно,  AB = 2KA sin 18° = (KA + KB) sin 72°.
  Сложив эти равенства, получим
AB + BC + CD + DE + EA = (KA + KB + LB + LC + MC + MD + ND + NE + OE + OA) sin 18° = (1 – AB – BC – CD – DE – EA) sin 18°,  следовательно,     (мы воспользовались известным равенством     см. задачу 56881).


Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2578

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .