|
|
 |
Условие
Замкнутая пятизвенная ломаная образует равноугольную звезду (см. рис.).
Чему равен периметр внутреннего пятиугольника ABCDE, если длина исходной ломаной равна 1?
Решение
Пусть K, L, M, N и O – вершины звезды, лежащие
против сторон соответственно AB, BC, CD, DE и EA внутреннего пятиугольника ABCDE. Как известно, сумма углов пятиконечной звезды равна 180° (см. задачу 53380). Поскольку углы при вершинах равны, то каждый из них равен 36°. По теореме о внешнем угле треугольника ∠KBA = 72°. Отсюда следует, что треугольники AKB, BLC, CMD, DNE и
AOE – равнобедренные, с углами 36°,
72°, 72°. Следовательно, AB = 2KA sin 18° = (KA + KB) sin 72°.
Сложив эти равенства, получим
AB + BC + CD + DE + EA = (KA + KB + LB + LC + MC + MD + ND + NE + OE + OA) sin 18° = (1 – AB – BC – CD – DE – EA) sin 18°, следовательно, (мы воспользовались известным равенством
см. задачу 56881).
Ответ
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 2578 |
