Задача 115697

Темы:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Касающиеся окружности ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Касающиеся окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Отношение радиусов окружностей S1 и S2 , касающихся в точке B , равно k ( k>1 ). Из точки A , лежащей на окружности S1 , проведена прямая, касающаяся окружности S2 в точке C . Найдите AC , если известно, что хорда, высекаемая окружностью S2 на прямой AB , равна b .

Решение

Рассмотрим случай внешнего касания. Пусть O1 и O2 — центры окружностей S1 и S2 радиусов R и r соответственно, =k>1 ; X — точка пересечения прямой AB с окружностью S2 , отличная от A , AX=b .
Равнобедренные треугольники XO2A и BO1A подобны. Поэтому

AB = · AX = .
По теореме о касательной и секущей
BC2 = BX· BA = (BA + AX)BA = (b + ) = b2(1 + k)k.
Следовательно, BC = b .
В случае внутреннего касания аналогично получим, что BC = b .

Ответ

b .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3339