Точки O₁ и O₂ – центры описанной и вписанной окружностей равнобедренного треугольника ABC  (AB = BC).  Описанные окружности треугольников ABC и O₁O₂A, пересекаются в точках A и D. Докажите, что прямая BD касается описанной окружности треугольника O₁O₂A.

   Решение

На большей стороне AC треугольника ABC взята точка N так, что серединные перпендикуляры к отрезкам AN и NC пересекают стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Докажите, что центр O описанной окружности треугольника ABC лежит на описанной окружности треугольника KBM.

   Решение

В первый день Маша собрала на 25% грибов меньше, чем Вася, а во второй – на 20% больше, чем Вася. За два дня Маша собрала грибов на 10% больше, чем Вася. Какое наименьшее количество грибов они могли собрать вместе?

   Решение

Окружность, вписанная в четырёхугольник ABCD , касается его сторон DA , AB , BC и CD в точках K , L , M и N соответственно. Пусть S1 , S2 , S3 и S4 – окружности, вписанные в треугольники AKL , BLM , CMN и DNK соответственно. К окружностям S1 и S2 , S2 и S3 , S3 и S4 , S4 и S1 проведены общие касательные, отличные от сторон четырёхугольника ABCD . Докажите, что четырёхугольник, образованный этими четырьмя касательными, – ромб.

   Решение

Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках M и N. Через точку A окружности S₁ проведены прямые AM и AN, пересекающие окружность S₂ в точках B и C, а через точку D окружности S₂ – прямые DM и DN, пересекающие S₁ в точках E и F, причём точки A, E, F лежат по одну сторону от прямой MN, а D, B, C – по другую (см. рис.). Докажите, что если  AB = DE,  то точки A, F, C и D лежат на одной окружности, положение центра которой не зависит от выбора точек A и D.

   Решение

В равнобедренном треугольнике ABC  (AC = BC)  точка O – центр описанной окружности, точка I – центр вписанной окружности, а точка D на стороне BC такова, что прямые OD и BI перпендикулярны. Докажите, что прямые ID и AC параллельны.

   Решение

Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов.

   Решение

Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC , касается его сторон AB , BC и AC в точках K , L и M соответственно. К окружностям, вписанным в треугольники BKL , CLM и AKM проведены попарно общие внешние касательные, отличные от сторон треугольника ABC . Докажите, что эти касательные пересекаются в одной точке.

   Решение

На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки D и F соответственно, E — середина отрезка DF . Докажите, что AD+FC AE+EC .

   Решение

Темы:    [ Сумма длин диагоналей четырехугольника ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки D и F соответственно, E — середина отрезка DF . Докажите, что AD+FC AE+EC .

Решение

Пусть D' — точка, симметричная точке D относительно точки A , а F' — симметрична точке F относительно точки C . Тогда DD'=2AD , FF'=2FC , а т.к. AE и CE — средние линии треугольников FDD' и DFF' , то FD'=2AE и DF'=2EC .
Известно, что сумма диагналей выпуклого четырёхугольника больше суммы двух противоположных сторон, поэтому FD'+DF'>DD'+FF' , или 2AE+2EC > 2AD+2FC . Следовательно, AD+FC < AE+EC . (Если точка D совпадает с A , а F совпадает с C , то AD+FC = AE+EC .)

Источники и прецеденты использования