Задача 115880

Темы:    [ Многогранники и многоугольники (прочее) ] [ Правильные многоугольники ] [ Ортогональная проекция (прочее) ] [ Решение задач при помощи аффинных преобразований ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Протасов В.Ю.

Верно ли, что при любом n правильный 2n-угольник является проекцией некоторого многогранника, имеющего не более, чем  n + 2  грани?

Решение

Применим к правильному 2n-угольнику A₁...A_2n растяжение относительно диагонали A_nA_2n с коэффициентом  k > 1 (см. рис.). Теперь перегнём полученный многоугольник по прямой A_nA_2n, так чтобы его вершины B₁, ..., B_n–1, B_n+1, ..., B_2n–1 проецировались в вершины исходного правильного многоугольника. Тогда все прямые B_iB_2n–i будут параллельны и многогранник, ограниченный треугольниками B_n–1B_nB_n+1, B_2n–1B_<2nB₁, трапециями B_iB_i+1B_2n–i–1B_2n–i и двумя половинами 2n-угольника, будет искомым.

Ответ

Верно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2009
Тур
задача
Номер	23