|
|
 |
Условие
Вписанная и вневписанная окружности треугольника ABC касаются стороны BC в точках M и N. Известно, что ∠BAC = 2∠MAN.
Докажите, что BC = 2MN.
Решение
Будем считать, что AB > AC и, значит, точки B, N, M, C располагаются на прямой именно в таком порядке.
Лемма. Пусть K – середина BC, а I и J – центры вписанной и вневписанной окружностей. Тогда AN || IK и AM || JK.
Доказательство. Первое утверждение следует из того, что точка вписанной окружности, диаметрально противоположная M, лежит на прямой AN (поскольку вневписанная и вписанная окружность гомотетичны с центром в точке A), а K является также серединой MN (см. задачу 55404). Второе утверждение доказывается аналогично.
Из леммы видно, что условие задачи равносильно равенству ∠IKJ = 180° – ½ ∠A. Покажем, что при BC = 2MN это выполнено. Действительно, в этом случае M и N будут серединами отрезков KC и KB, соответственно, IM и NJ являются серединными перпендикулярами к этим отрезкам. Значит, треугольники IKC и JKB равнобедренные (см. рис.), и ∠JKB = 90° – ½ ∠B, ∠IKC = ½ ∠C.
Заметим, что точки B и C лежат на окружности с диаметром IJ. Её дуга BC соответствует углу 90° + ½∠A. Когда хорда BC вращается внутри окружности, её
середина K описывает концентрическую окружность меньшего радиуса. С другой стороны, геометрическое место таких точек K, что
∠IKJ = 180° – ½ ∠A, состоит из двух дуг с концами I и J. Эти два ГМТ пересекаются в четырёх точках,
расположенных симметрично относительно отрезка IJ и серединного
перпендикуляра к нему. Четыре четырёхугольника BICJ, соответствующие этим точкам, равны, то есть условие
∠IKJ = 180° – ½ ∠A определяет четырёхугольник однозначно. Следовательно, оно равносильно равенству BC = 2MN.
