Задача 115906

Темы:    [ Теорема Карно ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Вневписанные окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Вневписанные окружности треугольника ABC касаются сторон BC, AC и AB в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно.
Докажите, что перпендикуляры, восставленные к этим сторонам в точках соответственно A₁, B₁ и C₁, пересекаются в одной точке.

Решение

Обозначим  BC = a, AC = b, AB = c,  p – полупериметр треугольника ABC, а вневписанная окружность треугольника ABC, касающаяся стороны BC, касается продолжения стороны AB в точке M. Тогда  BA₁ = AB₁ = p – c,  CA₁ = AC₁ = p – b,  CB₁ = BC₁ = p – a  (см. задачу 55404), поэтому
A₁B² – A₁C² + B₁C² – B₁A² + C₁A² – C₁B² = (p – c)² – (p – b)² + (p – a)² – (p – c)² + (p – b)²– (p – a² = 0.  Осталось применить теорему Карно (см. задачу 115905).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2277