Задача 115909

Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Теорема Карно ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Докажите, что если перпендикуляры, восставленные из оснований биссектрис соответствующим сторонам треугольника, пересекаются в одной точке, то треугольник равнобедренный.

Решение

Пусть AA₁, BB₁ и CC₁ – биссектрисы треугольника ABC. Обозначим  BC = a,  AC = b,  AB = c.  Тогда
 

  По теореме Карно (см. задачу 115905)       Отсюда

   
Следовательно, по крайней мере две стороны треугольника равны.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2280