Выбрано 6 задач 
Убрать все задачи
Точка M находится внутри диаметра AB окружности и отлична от центра окружности. По одну сторону от этого диаметра на окружности взяты произвольные различные точки P и Q , причём отрезки PM и QM образуют равные углы с диаметром. Докажите, что все прямые PQ проходят через одну точку.
Первая окружность с центром в точке A касается сторон угла KOL в точках K и L.
Вторая окружность с центром в точке B касается отрезка OK, луча LK
и продолжения стороны угла OL за точку O. Известно, что отношение радиуса
первой окружности к радиусу второй окружности равно
.
Найдите отношение отрезков OB и OA.
Микрокалькулятор МК-97 умеет над числами, занесенными в память, производить только три операции:
1) проверять, равны ли выбранные два числа,
2) складывать выбранные числа,
3) по выбранным числам a и b находить корни уравнения x² + ax + b = 0, а если корней нет, выдавать сообщение об этом.
Результаты всех действий заносятся в память. Первоначально в памяти записано одно число x. Как с помощью МК-97 узнать, равно ли это число единице?
Найти решение уравнения в целых числах.
В треугольнике ABC точка M – середина стороны BC, AA1, BB1 и CC1 – высоты. Прямые AB и A1B1 пересекаются в точке X, а прямые MC1 и AC – в точке Y. Докажите, что XY || BC .
Найдите наименьшее значение x² + y², если x2 – y² + 6x + 4y + 5 = 0.
|
|
 |
Условие
Найдите наименьшее значение x² + y², если x2 – y² + 6x + 4y + 5 = 0.
Решение
x² – y² + 6x + 4y + 5 = (x + 3)² – (y – 2)² = (x + y + 1)(x – y + 5) = 0.
Таким образом, график полученного уравнения состоит из двух прямых y = – x – 1 и y = x + 5, которые пересекают ось ординат в точках
(0, –1) и (0, 5) (см. рис.). x² + y² – квадрат расстояния от точки M(x, y) до начала координат, поэтому, его значение будет наименьшим, когда M – основание перпендикуляра, опущенного из точки О(0, 0) на ближайшую к этой точке прямую. Учитывая, что обе прямые отсекают от осей координат равнобедренные прямоугольные треугольники с катетами 1 и 5, получим, что ближе к точке О находится прямая y = – x – 1, тогда OM = 0,5.
Ответ
0,5.
