Задача 116103

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Вспомогательная окружность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Высоты AA1 и BB1 треугольника ABC пересекается в точке H . Прямые AC и A1B1 пересекаются в точке D . Докажите, что прямая DH перпендикулярна медиане BM треугольника ABC .

Решение

Заметим, что B — точка пересечения высот треугольника AHC , поэтому отрезок BH вдвое больше расстояния от центра O описанной окружности треугольника AHC до стороны AC .
Пусть K — середина BH . Тогда BK=OM и BK || OM , значит, BMOK — параллелограмм, поэтому BM || OK .
Из точек A1 и C1 отрезок BH виден под прямым углом, значит, точки A1 , B1 , B и H лежат на окружности Ω с диаметром BH .
Пусть прямая DH вторично пересекает эту окружность в точке P . Тогда DH· DP = DC1· DA1 = DA· DT , т.к. точки A1 , C1 , A и C — также лежат на одной окружности. Значит, точка P лежит на описанной окружности треугольника AHC .
Таким образом, отрезок HP — общая хорда окружности Ω с центром K и описанной окружности треугольника AHC , а т.к. общая хорда пересекающихся окружности перпендикулярна их линии центров, то HP OK . Следовательно, DH BM . Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6146