Условие
Высоты AA1 и BB1 треугольника ABC пересекается в точке
H . Прямые AC и A1B1 пересекаются в точке D . Докажите,
что прямая DH перпендикулярна медиане BM треугольника ABC .
Решение
Заметим, что B — точка пересечения высот треугольника
AHC , поэтому отрезок BH вдвое больше расстояния от центра O
описанной окружности треугольника AHC до стороны AC .
Пусть K — середина BH . Тогда BK=OM и BK || OM ,
значит, BMOK — параллелограмм, поэтому BM || OK .
Из точек A1 и C1 отрезок BH виден под прямым углом,
значит, точки A1 , B1 , B и H лежат на окружности
Ω с диаметром BH .
Пусть прямая DH вторично пересекает эту окружность в точке P .
Тогда DH· DP = DC1· DA1 = DA· DT , т.к.
точки A1 , C1 , A и C — также лежат на одной окружности.
Значит, точка P лежит на описанной окружности треугольника
AHC .
Таким образом, отрезок HP — общая хорда окружности Ω
с центром K и описанной окружности треугольника AHC , а т.к.
общая хорда пересекающихся окружности перпендикулярна их линии
центров, то HP 
OK . Следовательно, DH BM . Что и
требовалось доказать.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
6146 |
