ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116139
Темы:    [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

B треугольнике ABC угол A равен 120°. Докажите, что расстояние от центра описанной окружности до ортоцентра равно  AB + AC.


Решение 1

  Пусть C1 и B1 – основания высот треугольника ABC, проведённых к сторонам AB и AC соответственно, H – ортоцентр, O – центр описанной окружности, D  – середина большей из дуг BC этой окружности. Tогда треугольник BDC – равносторонний, и по задаче 52355,  AD = AB + AC.

  Прямые OD и AH параллельны как перпендикуляры к BC. Kроме того, согласно задаче 55599  AH = OD.  Значит, ODAH – параллелограмм, и
OH = AD = AB + AC.


Решение 2

  Hа продолжении стороны AC за точку A отложим отрезок  AB' = AB.  Докажем, что  OH = СB'.  Для этого достаточно показать, что OB'HC – равнобокая трапеция (или прямоугольник). Треугольник AB'B – равносторонний, поэтому  OB'AB.  Следовательно,  OB' || HC.

  Tак как BB1 – высота равностороннего треугольника AB'B, то BB1, а следовательно, и HB – серединный перпендикуляр к отрезку AB', то есть  HB' = HA.  Пусть K – середина отрезка BC, тогда  HA = 2OK  (расстояние от ортоцентра треугольника до вершины в два раза больше расстояния от центра описанной окружности до противолежащей этой вершине стороны). Поскольку  ∠BOC = 120°,  то  ∠KCO = 30°,  то есть KCO – прямоугольный треугольник с углом 30°. Следовательно,  OC = 2OK,  откуда OC = HB'.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 06 (2008 год)
Дата 2008-04-13
класс
Класс 10-11 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .