Задача 52355

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Теорема Птолемея ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

На дуге BC окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, взята произвольная точка P. Докажите, что  AP = BP + CP.

Подсказка

Отложите на луче AP отрезок AP₁, равный отрезку CP, и докажите, что треугольник BPP₁ – равносторонний.

Решение

  Первый способ. Отложим на луче AP отрезок AP₁, равный отрезку CP. Тогда треугольники AP₁B и CPB равны по двум сторонам и углу между ними. В треугольнике BPP₁  BP₁ = BP,  ∠BPP₁ = ∠BPA = ∠BCA = 60°.  Поэтому  PP₁ = BP.  Следовательно,  AP = AP₁ + P₁P = BP + CP.

  Второй способ. По теореме Птолемея (см. задачу 52468)  BC·AP = AC·BP + AB·CP,  а так как  BC = AC = AB,  то  AP = BP + CP.

Замечания

Обобщение см. в задаче 55464.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	17
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1970
выпуск
Номер	4
Задача
Номер	М18a
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	6
Год	1940
вариант
Класс	7,8
Тур	2
задача
Номер	2
книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	18
Название	Поворот
Тема	Поворот
параграф
Номер	2
Название	Поворот на 60 градусов
Тема	Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$
задача
Номер	18.013