Задача 116162

Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Автор: Ивлев Ф.

Дана неравнобокая трапеция ABCD  (AB || CD).  Окружность, проходящая через точки A и B, пересекает боковые стороны трапеции в точках P и Q, а диагонали – в точках M и N. Докажите, что прямые PQ, MN и CD пересекаются в одной точке.

Решение

  Пусть O – точка пересечения диагоналей трапеции, а точки M и N лежат на отрезках DO и CO соответственно (см. рис.).
  Так как четырёхугольник APQB – вписанный, то  ∠DPQ = ∠ABC = 180° – ∠DCQ,  то есть DPQC – тоже вписанный. Aналогично из вписанности четырёхугольника AMNB следует вписанность четырёхугольника DMNC.

  Итак, есть три окружности, описанные около четырёхугольников APQB, DPQC и DMNC. PQ, MN и CD – их общие хорды, то есть каждая из этих прямых является радикальной осью пары соответствующих окружностей. Поэтому прямые PQ, MN и CD пересекаются в одной точке – радикальном центре этих окружностей.
  Для другого расположения точек M и N доказательство аналогично.

Замечания

Из свойств проективных преобразований следует, что утверждение задачи верно и для произвольного четырехугольника.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	09 (2011 год)
Дата	2011-04-10
класс
Класс	10-11 класс
задача
Номер	3