Задача 116248

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Радикальная ось ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Ивлев Ф.

Пусть I – центр вписанной окружности неравнобедренного треугольника ABC. Через A₁ обозначим середину дуги BC описанной окружности треугольника ABC, не содержащей точки A, а через A₂ – середину дуги BAC. Перпендикуляр, опущенный из точки A₁ на прямую A₂I, пересекает прямую BC в точке A'. Аналогично определяются точки B' и C'.
  а) Докажите, что точки A', B' и C' лежат на одной прямой.
  б) Докажите, что эта прямая перпендикулярна прямой OI, где O – центр описанной окружности треугольника ABC.

Решение

  Обозначим точку пересечения прямой A₁A' с прямой A₂I через X_A, а описанную окружность ΔABC через ω (см. рис.). По условию  ∠A₂XAA₁ = 90°.  Так как A₂A₁ – диаметр, точка X_A лежит на ω. Рассмотрим теперь описанные окружности ω₁ и ω₂треугольников ABC, BIC и IX_AA₁. Радикальная ось ω и ω₁ есть прямая BC, а ω₁ и ω₂ – X_AA₁. Значит, радикальным центром всех этих трёх окружностей является точка A'. Заметим, что точка A₁ является центром ω₁ (см. задачу 53119). Так как угол IX_AA₁ прямой, то IX_A – диаметр ω₂. Следовательно, ω₁ и ω₂ касаются в точке I. Значит, касательная к этим окружностям, проведённая в точке I, проходит через A', и  A'I² = A'B·A'C  (по теореме о касательной и секущей).

  Рассмотрим ω и точку I, как вырожденную в точку окружность. Из последнего равенства следует, что точка A' лежит на радикальной оси этих двух окружностей. По аналогичным причинам на этой радикальной оси лежат и точки B' и C'. Так как радикальная ось двух окружностей – прямая, то все эти три точки лежат на одной прямой, перпендикулярной линии центров этих окружностей, то есть прямой OI.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2013
Номер	76
класс
Класс	10
задача
Номер	6