ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116248
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Радикальная ось ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Ивлев Ф.

Пусть I – центр вписанной окружности неравнобедренного треугольника ABC. Через A1 обозначим середину дуги BC описанной окружности треугольника ABC, не содержащей точки A, а через A2 – середину дуги BAC. Перпендикуляр, опущенный из точки A1 на прямую A2I, пересекает прямую BC в точке A'. Аналогично определяются точки B' и C'.
  а) Докажите, что точки A', B' и C' лежат на одной прямой.
  б) Докажите, что эта прямая перпендикулярна прямой OI, где O – центр описанной окружности треугольника ABC.


Решение

  Обозначим точку пересечения прямой A1A' с прямой A2I через XA, а описанную окружность ΔABC через ω (см. рис.). По условию  ∠A2XAA1 = 90°.  Так как A2A1 – диаметр, точка XA лежит на ω. Рассмотрим теперь описанные окружности ω1 и ω2треугольников ABC, BIC и IXAA1. Радикальная ось ω и ω1 есть прямая BC, а ω1 и ω2XAA1. Значит, радикальным центром всех этих трёх окружностей является точка A'. Заметим, что точка A1 является центром ω1 (см. задачу 53119). Так как угол IXAA1 прямой, то IXA – диаметр ω2. Следовательно, ω1 и ω2 касаются в точке I. Значит, касательная к этим окружностям, проведённая в точке I, проходит через A', и  A'I² = A'B·A'C  (по теореме о касательной и секущей).

  Рассмотрим ω и точку I, как вырожденную в точку окружность. Из последнего равенства следует, что точка A' лежит на радикальной оси этих двух окружностей. По аналогичным причинам на этой радикальной оси лежат и точки B' и C'. Так как радикальная ось двух окружностей – прямая, то все эти три точки лежат на одной прямой, перпендикулярной линии центров этих окружностей, то есть прямой OI.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2013
Номер 76
класс
Класс 10
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .