Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
Значение a подобрано так, что число корней первого из уравнений
4x – 4–x = 2 cos ax, 4x + 4–x = 2 cos ax + 4 равно 2007.
Сколько корней при том же a имеет второе уравнение?
В наборе из 17 внешне одинаковых монет две фальшивых, отличающихся от остальных по весу. Известно, что суммарный вес двух фальшивых монет вдвое больше веса настоящей. Всегда ли можно ли определить пару фальшивых монет, совершив пять взвешиваний на чашечных весах без гирь? (Определять, какая из фальшивых монет тяжелее, не требуется.)
У входа в пещеру стоит барабан, на нём по кругу через равные промежутки расположены N одинаковых с виду бочонков. Внутри каждого бочонка лежит селёдка – либо головой вверх, либо головой вниз, но где как – не видно (бочонки закрыты). За один ход Али-Баба выбирает любой набор бочонков (от 1 до N штук) и переворачивает их все. После этого барабан приходит во вращение, а когда останавливается, Али-Баба не может определить, какие бочонки перевёрнуты. Пещера откроется, если во время вращения барабана все N селёдок будут расположены головами в одну сторону. При каких N Али-Баба сможет открыть пещеру?
У Винтика и у Шпунтика есть по три палочки суммарной длины 1 метр у каждого. И Винтик, и Шпунтик могут сложить из трёх своих палочек треугольник. Ночью в их дом прокрался Незнайка, взял по одной палочке у Винтика и у Шпунтика и поменял их местами. Наутро оказалось, что Винтик не может сложить из своих палочек треугольник. Можно ли гарантировать, что Шпунтик из своих — сможет?
а) В бесконечной последовательности бумажных прямоугольников площадь n-го прямоугольника равна n². Обязательно ли можно покрыть ими плоскость? Наложения допускаются.
б) Дана бесконечная последовательность бумажных квадратов. Обязательно ли можно покрыть ими плоскость (наложения допускаются), если известно, что для любого числа N найдутся квадраты суммарной площади больше N?
На рисунке приведены три примера показаний исправных электронных часов. Сколько палочек могут перестать работать, чтобы время всегда можно было определить однозначно?
Дан остроугольный треугольник ABC; AA1, BB1 – его высоты. Из точки A1 опустили перпендикуляры на прямые AC и AB, а из точки B1 опустили перпендикуляры на прямые BC и BA. Докажите, что основания перпендикуляров образуют равнобокую трапецию.
|
|
 |
Условие
Дан остроугольный треугольник ABC; AA1, BB1 – его высоты. Из точки A1 опустили перпендикуляры на прямые AC и AB, а из точки B1 опустили перпендикуляры на прямые BC и BA. Докажите, что основания перпендикуляров образуют равнобокую трапецию.
Решение
Пусть A1A2 и A1A3 (B1B2 и B1B3) – перпендикуляры, опущенные из точки A1 (B1) соответственно на прямые AC (BC) и AB. Как известно (см зад. 56508), треугольник B1CA1 подобен треугольнику ABC. Треугольник A2CB2, в свою очередь, подобен треугольнику B1CA1, а значит, и треугольнику ABC. Поэтому прямые A2B2 и AB параллельны, т.е. A2B2A3B3 – трапеция.
Опустим перпендикуляры OD и OE из середины O отрезка A1B1 на основания трапеции A2B2 и A3B3. Так как углы A1A2B1 и B1B2A1 прямые, O – центр окружности, описанной около четырёхугольника B1A2B2A1. Поэтому D – середина A2B2. Отрезок OE параллелен основаниям трапеции A1A3B3B1 и потому является её средней линией. Значит, E – середина A3B3. Таким образом, трапеция A2B2A3B3 симметрична относительно DE и, следовательно, равнобока.
Замечания
1. Параллельность прямых AB и A2B2 следует также из теоремы Паппа.
2. См. также задачу М2233 из Задачника "Кванта" ("Квант", 2011, №4).
3. 7 баллов.
