ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116348
Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точки M и N расположены на стороне AC треугольника ABC, а точки K и L – на стороне AB, причём AM : MN : NC = 1 : 3 : 1 и AK = KL = LB. Известно, что площадь треугольника ABC равна 1. Найдите площадь четырёхугольника KLNM.


Решение

У треугольников ABN и ABC общая высота, проведённая из вершины C, поэтому их площади относятся как основания, значит, $$S_{ABN} = \frac{AN}{AB} \cdot S_{ABC} = \frac45 \cdot 1 = \frac45.$$

Аналогично, $$S_{ANL} = \frac{AL}{AB} \cdot S_{ABN} = \frac23 \cdot \frac45 = \frac{8}{15},$$ $$S_{ANK} = \frac{AK}{AB} \cdot S_{ABN} = \frac13 \cdot \frac45 = \frac4{15},$$ $$S_{AKM} = \frac{AM}{AN} \cdot S_{ANK} = \frac14 \cdot \frac4{15} = \frac1{15}.$$

Следовательно, $$S_{KLNM} = S_{ALN} - S_{AKM} = \frac8{15} - \frac1{15} = \frac7{15}.$$

Ответ

$\frac7{15}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2926

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .