Задача 116356

Темы:    [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Признаки подобия ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Центр масс ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

На сторонах BC, AC и AB треугольника ABC расположены точки A₁, B₁ и C₁ соответственно, причём  BA₁ : A₁C = CB₁ : B₁A = AC₁ : C₁B = 1 : 3.  Найдите площадь треугольника, образованного пересечениями прямых AA₁, BB₁ и CC₁, если известно, что площадь треугольника ABC равна 1.

Подсказка

Найдите отношение, в котором делятся точкой пересечения отрезки BB₁ и CC₁.

Решение

  Пусть K – точка пересечения отрезков BB₁ и CC₁. Как в задаче 116338 найдём отношение BK : KB₁.  Оно равно 12. Поэтому
S_CBK = ¹²/₁₃ S_CBB1 = ¹²/₁₃·¼ = ³/₁₃.
  Аналогично  S_AMC = S_BNA = ³/₁₃,  где M – точка пересечения AA₁ и CC₁, а N – BB₁ и AA₁. Следовательно,  S_MNK = S_ABC – S_CBK – S_AMC – S_BNA = ⁴/₁₃.

Ответ

⁴/₁₃.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2934