ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116379
Темы:    [ Задачи на движение ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Шень А.Х.

По шоссе в одну сторону движутся пешеход и велосипедист, в другую сторону – телега и машина. Все участники движутся с постоянными скоростями (каждый со своей). Велосипедист сначала обогнал пешехода, потом через некоторое время встретил телегу, а потом ещё через такое же время встретил машину. Машина сначала встретила велосипедиста, потом через некоторое время встретила пешехода, и потом ещё через такое же время обогнала телегу. Велосипедист обогнал пешехода в 10 часов, а пешеход встретил машину в 11 часов. Когда пешеход встретил телегу?


Решение 1

Нарисуем графики движения и отметим их точки пересечения. Пусть обгонам и встречам велосипедиста соответствуют точки A, L, C, машины – точки C, K, B, а встрече телеги с пешеходом – точка M (см. рис). По условию, L и K – середины сторон и BC треугольника ABC, следовательно, M – точка пересечения его медиан. M делит медиану AK в отношении  2 : 1,  поэтому и проекция точки M делит временной отрезок от 10 до 11 часов в том же отношении. Значит, встреча произошла в 10.40.


Решение 2

Посмотрим на всё с точки зрения телеги. Она стоит на месте в точке T, слева из точки A к ней приближаются пешеход и велосипедист, а справа – машина. Пусть велосипедист встречает машину в точке В, а пешеход – в точке С. По условию велосипедист проезжает отрезки AT и TB за одно время, поэтому T – середина AB. Машина проезжает отрезки BC и CT за одно время, поэтому C – середина TB. Пешеход проходит AC за час, следовательно, отрезок  AT = ⅔ AC  он проходит за 40 минут.


Ответ

В 10.40.

Замечания

баллы: 5

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2011/2012
Номер 33
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .