Задача 116403

Темы:    [ Шестиугольники ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ] [ Перегруппировка площадей ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Белухов Н.

Даны треугольник XYZ и выпуклый шестиугольник ABCDEF. Стороны AB, CD и EF параллельны и равны соответственно сторонам XY, YZ и ZX. Докажите, что площадь треугольника с вершинами в серединах сторон BC, DE и FA не меньше площади треугольника XYZ.

Решение

  Построим параллелограмм BCDI (см. рис.). По условию треугольники ABI и XYZ равны.

  Первый способ. Пусть  S_XYZ = s,  S_ABCDEF = S,  K, L и M – середины соответственно сторон BC, DE и FA.
  Напомним, что если R – середина отрезка PQ, не пересекающего прямую HG, то   S_RHG = ½ (S_PHG + S_QHG)   (высота треугольника RHG, опущенная на HG, равна полусумме соответствующих высот треугольников PHG и QHG).
  Поэтому   S_KLM = ½ (S_BLM + S_CLM) = ¼ (S_BDM + S_BEM + S_CDM + S_CEM) = ⅛ (S_BDA + S_BDF + S_BEA + S_BEF + S_CDA + S_CDF + S_CEA + S_CEF).

  Заметим, что   S_DAB = S_CAB + S_IAB = S_CAB + s   (высота треугольника ADB, опущенная на AB, равна сумме соответствующих высот треугольников ACB и AIB).
  Аналогично   S_EAB = S_FAB + s,   S_ACD = S_BCD + s,   S_FCD = S_ECD + s,   S_BFE = S_AFE + s,   S_CFE = S_AFE + s.
  Отсюда   S_KLM = ⅛ (S_BDA + S_BDF + S_BEA + S_BEF + S_CDA + S_CDF + S_CEA + S_CEF) =

= ⅛ (6s + S_ABC + S_BDF + S_ABF + S_AEF + S_BCD + S_CDE + S_ACE + S_DEF).

  Заметим, что   S_BDF + S_ABF + S_BCD + S_DEF = S_AEF + S_CDE + S_ACE + S_ABC = S.   Поэтому   S_KLM = ⅛ (6s + 2S) = ¼ (3s + S) > s.   (Точка I очевидно находится внутри шестиугольника, поэтому  s < S).

  Второй способ.

  Значит, отрезок AI параллелен и равен FE, то есть AIEF – тоже параллелограмм.
  Пусть P – середина EI. Тогда  S_KLM > S_MPB > S_ABI = S_XYZ.   Оба неравенства следуют из следующего очевидного утверждения.
  Пусть TUVW – параллелограмм, точка R и отрезок VW лежат по разные стороны от прямой TU. Тогда   S_RVW > S_RTU.
(В первом случае используется параллелограмм BKLP, во втором – AIPM.)

Замечания

1. В решении существенно используется, что треугольник XYZ и шестиугольник ABCDEF ориентированы одинаково. Но случай, когда они ориентированы противоположно, также возможен. Он сводится к разобранному следующей перестройкой шестиугольника:

Здесь     Отсюда легко следует, что     то есть серединный треугольник не изменился.

2. 9 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2009/2010
Номер	31
вариант
Вариант	осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	5