ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116496
Темы:    [ Касающиеся окружности ]
[ Признаки и свойства касательной ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Две окружности касаются внешним образом. A – точка касания их общей внешней касательной с одной из окружностей, B – точка той же окружности, диаметрально противоположная точке A. Докажите, что длина касательной, проведённой из точки B ко второй окружности, равна диаметру первой окружности.


Решение

Пусть C – точка касания данной общей касательной и второй окружности, BD – касательная ко второй окружности, проведённая из точки B, H – точка касания окружностей. Тогда угол AHB – прямой. Проведём к данным окружностям через точку H общую внутреннюю касательную, которая пересечет прямую AC в точке M. Отрезки MA, MH и MC касательных, проведённых из точки M к окружностям, равны. Следовательно, треугольник AHC – прямоугольный, значит, точки B, H и C лежат на одной прямой. AH – высота прямоугольного треугольника ABC, проведённая к гипотенузе, поэтому  AB² = BH·BC.  С другой стороны,  BD² = BH·BC.  Следовательно,  BD = AB.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2011
Класс
Класс 11
Задача
Номер 11.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .