Задача 116524

Темы:    [ Углы между прямыми и плоскостями ] [ Касающиеся сферы ] [ Прямоугольные параллелепипеды ] [ Расстояние между двумя точками. Уравнение сферы ] [ Сфера, вписанная в трехгранный угол ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ четыре числа – длины рёбер и диагонали AC₁ – образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью d, причём AA₁ < AB < BC. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса R расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается граней ABB₁A₁, ADD₁A₁, ABCD, а вторая – граней BCC₁B₁, CDD₁C₁, A₁B₁C₁D₁. Найдите: а) длины рёбер параллелепипеда; б) угол между прямыми CD₁ и AC₁; в) радиус R.

Решение

P>а) Пусть AA₁ = t. Тогда AB = t + d, BC = t + 2d, AC₁ = t + 3d. По теореме о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда

откуда находим, что . Тогда , .

б) Введём прямоугольную систему координат, направив ось Ox по лучу AB, ось Oy – по лучу AD, ось Oz – по лучу AA₁. Найдём координаты нужных нам вершин параллелепипеда и векторов:

Пусть &phi; – угол между прямыми CD₁ и AC₁. Тогда

в) Поскольку сферы вписаны в трёхгранные углы с вершинами A и C₁ параллелепипеда, их центры соответственно O и Q имеют координаты O(R;R;R) и Q(AB &ndash; R; BC &ndash; R; AA₁ &ndash; R). Линия центров касающихся сфер проходит через их точку касания P, поэтому OQ = OP + PQ = 2R, или

Подставляя в это равенство , , , получим уравнение

Центры сфер лежат внутри параллелепипеда, поэтому . Следовательно,

Ответ

а) , , ;

б) ;

в) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача 8947
Номер	8947