Версия для печати
Убрать все задачи

---

Даны числа а₁, ..., а_n.
Для 1 ≤ i ≤ n положим

d_i = MAX { a_j | 1 ≤ j ≤ i } - MIN { a_j | i ≤ j ≤ n }
d = MAX { dⁱ | 1 ≤ i ≤ n }

а) Доказать, что для любых x₁ ≤ x₂ ≤ ... ≤ x_n выполняется неравенство

MAX { |x_i - a_i| | 1 ≤ i ≤ n } ≥ d/2.

б) Доказать, что равенство в (*) выполняется для некоторых {x_i} i=1...n

   Решение

---

Через точку внутри вписанного четырёхугольника провели две прямые, делящие его на четыре части. Три из этих частей – вписанные четырёхугольники, причем радиусы описанных вокруг них окружностей равны. Докажите, что четвёртая часть – четырёхугольник, вписанный в окружность того же радиуса.

   Решение

---

Рассматриваются все треугольники АВС, у которых положение вершин В и С зафиксировано, а вершина А перемещается в плоскости треугольника так, что медиана СМ имеет одну и ту же длину. По какой траектории движется точка А?

   Решение

Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Гомотетия: построения и геометрические места точек ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Рассматриваются все треугольники АВС, у которых положение вершин В и С зафиксировано, а вершина А перемещается в плоскости треугольника так, что медиана СМ имеет одну и ту же длину. По какой траектории движется точка А?

Решение

  В одном из рассматриваемых треугольников проведём через вершину А прямую параллельно CM, которая пересечёт прямую ВС в точке K (см. рис.).

  По теореме Фалеса,  KC = BC,  то есть CM – средняя линия треугольника AKB. Следовательно,  AK = 2CM.
  Так как положение вершин В и С фиксировано, то положение точки K также фиксировано. При движении точки А длина отрезка AK не изменяется, следовательно, точка А движется по окружности с центром К и радиусом 2СМ. (Из этой окружности надо исключить две точки, лежащие на прямой BC.)

Ответ

По окружности.

Замечания

Можно также использовать гомотетию с центром В и коэффициентом 2.

Источники и прецеденты использования