Выбрано 8 задач 
Убрать все задачи
Значение a подобрано так, что число корней первого из уравнений
4x – 4–x = 2 cos ax, 4x + 4–x = 2 cos ax + 4 равно 2007.
Сколько корней при том же a имеет второе уравнение?
В наборе из 17 внешне одинаковых монет две фальшивых, отличающихся от остальных по весу. Известно, что суммарный вес двух фальшивых монет вдвое больше веса настоящей. Всегда ли можно ли определить пару фальшивых монет, совершив пять взвешиваний на чашечных весах без гирь? (Определять, какая из фальшивых монет тяжелее, не требуется.)
У входа в пещеру стоит барабан, на нём по кругу через равные промежутки расположены N одинаковых с виду бочонков. Внутри каждого бочонка лежит селёдка – либо головой вверх, либо головой вниз, но где как – не видно (бочонки закрыты). За один ход Али-Баба выбирает любой набор бочонков (от 1 до N штук) и переворачивает их все. После этого барабан приходит во вращение, а когда останавливается, Али-Баба не может определить, какие бочонки перевёрнуты. Пещера откроется, если во время вращения барабана все N селёдок будут расположены головами в одну сторону. При каких N Али-Баба сможет открыть пещеру?
У Винтика и у Шпунтика есть по три палочки суммарной длины 1 метр у каждого. И Винтик, и Шпунтик могут сложить из трёх своих палочек треугольник. Ночью в их дом прокрался Незнайка, взял по одной палочке у Винтика и у Шпунтика и поменял их местами. Наутро оказалось, что Винтик не может сложить из своих палочек треугольник. Можно ли гарантировать, что Шпунтик из своих — сможет?
а) В бесконечной последовательности бумажных прямоугольников площадь n-го прямоугольника равна n². Обязательно ли можно покрыть ими плоскость? Наложения допускаются.
б) Дана бесконечная последовательность бумажных квадратов. Обязательно ли можно покрыть ими плоскость (наложения допускаются), если известно, что для любого числа N найдутся квадраты суммарной площади больше N?
На рисунке приведены три примера показаний исправных электронных часов. Сколько палочек могут перестать работать, чтобы время всегда можно было определить однозначно?
Дан остроугольный треугольник ABC; AA1, BB1 – его высоты. Из точки A1 опустили перпендикуляры на прямые AC и AB, а из точки B1 опустили перпендикуляры на прямые BC и BA. Докажите, что основания перпендикуляров образуют равнобокую трапецию.
На окружности отмечено 2N точек (N – натуральное число). Известно, что через любую точку внутри окружности проходит не более двух хорд с концами в отмеченных точках. Назовем паросочетанием такой набор из N хорд с концами в отмеченных точках, что каждая отмеченная точка является концом ровно одной из этих хорд. Назовём паросочетание чётным, если количество точек, в которых пересекаются его хорды, чётно, и нечётным иначе. Найдите разность между количеством чётных и нечётных паросочетаний.
|
|
 |
Условие
На окружности отмечено 2N точек (N – натуральное число). Известно, что через любую точку внутри окружности проходит не более двух хорд с концами в отмеченных точках. Назовем паросочетанием такой набор из N хорд с концами в отмеченных точках, что каждая отмеченная точка является концом ровно одной из этих хорд. Назовём паросочетание чётным, если количество точек, в которых пересекаются его хорды, чётно, и нечётным иначе. Найдите разность между количеством чётных и нечётных паросочетаний.
Решение
Обозначим отмеченные точки A1, A2, ..., A2N в порядке обхода окружности по часовой стрелке. Индукцией по N докажем, что чётных паросочетаний на 1 больше, чем нечётных. Для N = 1 утверждение очевидно: есть лишь одно паросочетание, и оно чётно.
Шаг индукции. Первый способ. Пусть в паросочетании участвует хорда A1Ai и ее пересекают ровно k хорд. Рассмотрим точки A2, ..., Ai–1; ровно k из них являются концами хорд, пересекающих A1Ai. Остальные i – 2 – k точек разбиваются на пары точек, соединенных хордами, которые не пересекают A1Ai. Таким образом, число i – 2 – k чётно, то есть числа i и k имеют одинаковую чётность.
Разобьём все паросочетания на 2N – 1 группу П2, ..., П2N : в группу Пi попадут те паросочетания, в которых точка A1 соединена с Ai. Выкинем из каждого паросочетания из Пi хорду A1Ai; получатся все возможные паросочетания на оставшихся 2N – 2 точках. По предположению индукции, среди них чётных на одно больше, чем нечётных. При этом если i чётно, то чётность паросочетания при выкидывании не менялась, а если нечётно, то менялась. Значит, в каждом из N множеств П2, ..., П2N чётных паросочетаний на одно больше, чем нечётных, а в каждом из N – 1 множеств П3, ..., П2N–1 нечётных на одно больше, чем чётных. Итого, всего чётных паросочетаний больше, чем нечётных, на N – (N – 1) = 1.
Второй способ. Рассмотрим все паросочетания, в которых A2N–1 и A2N соединены хордой. Эта хорда не пересекается ни с одной другой. Значит, выбросив её из каждого из рассматриваемых паросочетаний, мы получим все паросочетания на точках A1, ..., A2N–2, причём чётность каждого из них сохранится. По предположению индукции, среди наших паросочетаний чётных на одно больше, чем нечётных.
Осталось доказать, что среди остальных паросочетаний
поровну чётных и нечётных. Рассмотрим любое из них; пусть в нём есть хорды
A2N–1Ai и A2NAk. Заменим эти хорды на A2NAi и
A2N–1Ak. При этом, если
исходная хорда пересекалась с какой-то из остальных, то и новая хорда будет
с ней пересекаться. С другой стороны, если хорды A2N–1Ai и A2NAk не пересекались, то новые хорды будут пересекаться, и наоборот. Итак, мы разбили оставшиеся паросочетания на пары разной чётности.
Ответ
1.
