Условие
В параллелограмме ABCD опустили перпендикуляр BH на сторону AD. На отрезке BH отметили точку M, равноудалённую от точек C и D. Пусть точка K – середина стороны AB. Докажите, что угол MKD прямой.
Решение 1
Пусть L – середина отрезка CD (рис. слева), тогда ML ⊥ CD, как медиана равнобедренного треугольника CMD. LM ⊥ BK, так как BK || CD;
BM ⊥ KL, так как KL || AD. Это значит, что M – ортоцентр треугольника KLB, то есть KM ⊥ BL || KD.
Решение 2
Пусть N – точка пересечения прямых DK и BC (рис. в центре). Треугольники KAD и KBN равны по второму признаку. Отсюда NB = BC, и BM является серединным перпендикуляром к отрезку CN. Значит, точка M равноудалена от точек N, C и D, то есть является центром описанной окружности треугольника NCD. Поэтому MK ⊥ ND.
Решение 3
Построим точку P, симметричную точке M относительно K (рис. справа). Треугольники AKP и MKB равны по первому признаку, поэтому AP = BM. Кроме того, ∠PAK = ∠MBK, и потому AP || BM. Следовательно, угол PAD прямой и треугольники MBC и PAD равны. Значит, PD = MC. Тем самым, треугольник PDM равнобедренный (MD = MC = PD), а DK – его медиана, и, следовательно, высота.
Решение 4
Пусть P и Q – середины отрезков MC и MD соответственно (рис. слева). PQ – средняя линия треугольника MCD, поэтому она параллельна отрезку CD и равна половине его длины. Следовательно, PQ и BK параллельны и равны, то есть BPQK – параллелограмм. BP – медиана прямоугольного треугольника MBC, и потому равна ½ MC, то есть медиана KQ треугольника MKD равна половине стороны, к которой проведена. Следовательно, этот треугольник прямоугольный.
Решение 5
Точки L и H лежат на окружности Ω с диаметром MD (рис. справа). Так как KH = ½ AB = AK = DL, то KLDH – равнобокая трапеция. Следовательно, точка K лежит на Ω, и ∠MKD = 90°.
Замечания
Решения 1 и 2 идейно тесно связаны – центр описанной окружности треугольника NCD является ортоцентром его срединного треугольника BKD.
