ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116725
Темы:    [ Системы точек и отрезков (прочее) ]
[ Сумма длин диагоналей четырехугольника ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри круга отмечены 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Докажите, что их можно разбить на пары и провести прямую через каждую пару так, чтобы все точки пересечения прямых были в круге.


Решение

Разобьём точки на пары так, чтобы сумма длин соответствующих отрезков была максимальной. Допустим, для пар точек  (A, B)  и  (C, D)  прямые AB и CD пересекаются вне круга (см. рис.).

Тогда четырёхугольник ABCD – выпуклый,  AC + BD > AB + CD  (см. задачу 55152), то есть, разбив на пары по-другому, мы получили бы большую сумму длин отрезков. Противоречие.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2011/2012
Номер 33
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .