Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 7 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Фольклор

В тетраэдре ABCD плоские углы BAD и BCD – тупые. Сравните длины ребер AC и BD.

Вниз   Решение


Докажите, что стороны любого неравнобедренного треугольника можно либо все увеличить, либо все уменьшить на одну и ту же величину так, чтобы получился прямоугольный треугольник.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что из всех треугольников данного периметра 2p равносторонний имеет наибольшую плошадь.

ВверхВниз   Решение


Рассматриваются такие квадратичные функции  f(x) = ax² + bx + c,  что  a < b  и  f(x) ≥ 0  для всех x.
Какое наименьшее значение может принимать выражение  a+b+c/b–a ?

ВверхВниз   Решение


Пусть a, b, c – положительные числа, сумма которых равна 1. Докажите неравенство:  

ВверхВниз   Решение


В равнобочной трапеции ABCD угол при основании AD равен arcsin . Окружность радиуса R касается основания AD , боковой стороны AB и проходит через вершину C . Она отсекает на сторонах BC и CD отрезки MC и NC соответственно. Найдите BM .

ВверхВниз   Решение


Внутри каждой грани единичного куба выбрали по точке. Затем каждые две точки, лежащие на соседних гранях, соединили отрезком.
Докажите, что сумма длин этих отрезков не меньше, чем    .

Вверх   Решение

Задача 116727
Темы:    [ Куб ]
[ Ломаные внутри квадрата ]
[ Неравенство Коши ]
[ Симметриия и неравенства и экстремумы ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
Из корзины
Прислать комментарий

Условие

Внутри каждой грани единичного куба выбрали по точке. Затем каждые две точки, лежащие на соседних гранях, соединили отрезком.
Докажите, что сумма длин этих отрезков не меньше, чем    .


Решение

  Спроектируем четыре отрезка, соединяющие точки, лежащие на боковых гранях, на нижнюю грань куба. При этом длины отрезков не увеличатся. Мы получили четырёхугольник, вписанный в единичный квадрат. Докажем, что его периметр не меньше    .   Аналогично оцениваются суммы длин ещё двух четвёрок отрезков.
  Проекция отрезка отсекает от квадрата прямоугольный треугольник и служит его гипотенузой. Из неравенства  2(a2 + b2) ≥ (a + b)2  следует, что длина гипотенузы не меньше полусуммы катетов, умноженной на    .   Поэтому сумма длин четырёх этих проекций не меньше полупериметра грани, умноженного на    ,   то есть не меньше   .

Замечания

1. Можно также сослаться на известный факт: периметр четырёхугольника, вписанного в прямоугольник (по вершине на каждой стороне), не меньше удвоенной диагонали прямоугольника (см. задачу 108606).

2. 6 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2011/2012
Номер 33
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .