Условие
Касательные, проведённые к описанной окружности остроугольного треугольника ABC в точках A и C, пересекаются в точке Z. AA1, CC1 – высоты. Прямая A1C1 пересекает прямые ZA, ZC в точках X и Y соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC и XYZ касаются.
Решение 1
Пусть BB1 – третья высота, Ha, Hb, Hc – точки, симметричные ортоцентру H относительно соответствующих сторон треугольника ABC, M – середина стороны AC, P – точка пересечения луча MH с описанной окружностью треугольника ABC (рис. слева).
∠XAC1 = ∠BCA (как угол между касательной и хордой). С другой стороны, ∠BCA = ∠B1C1A (см. задачу 56508). Поэтому B1C1 || AX. Аналогично B1A1 || CY.
∠XC1A = ∠BC1A1 = ∠BCA = ∠XAC1, значит, XA = XC1. Кроме того, MA = MC1, следовательно, треугольники XAM и XC1M равны, то есть XM – биссектриса угла AXC1.
Аналогично YM – биссектриса угла CYA1. Следовательно, M – центр вписанной окружности треугольника XYZ.
Треугольники HaHbHc и A1B1C1, очевидно, гомотетичны с центром в точке H. Стороны треугольника YZX, как показано выше, параллельны соответствующим сторонам треугольника A1B1C1, поэтому треугольники HaHbHc и YZX гомотетичны.
PZ – симедиана треугольника PAC (см. задачу 56983). В силу симметрии, ∠PMC = ∠HbMC. Из рис. справа ясно, что биссектриса угла APC делит пополам угол MPHb. Следовательно, Hb лежит на симедиане PZ.
Рассмотрим гомотетию, переводящую треугольник YZX в треугольник HaHbHc. При этом описанная окружность треугольника XYZ переходит в описанную окружность треугольника ABC. H – центр вписанной окружности треугольника A1B1C1 (см. задачу 52866) и, следовательно, треугольника HaHbHc. Поэтому M переходит в H. Точка Z переходит в Hb, следовательно, центр гомотетии лежит на прямых MH и ZHb, то есть в точке P. Значит, указанные окружности касаются в точке P.
Решение 2
Воспользуемся следующим утверждением.
Пусть окружность касается двух сторон треугольника и его описанной окружности. Тогда отрезок, соединяющий точки касания со сторонами, содержит центр вписанной окружности (см. рис.).
Очевидно, верно и обратное: если окружность касается двух сторон треугольника, причём отрезок, соединяющий точки касания со сторонами, содержит центр вписанной окружности, то она касается описанной окружности треугольника.
Рассмотрим треугольник XYZ и описанную окружность треугольника ABC. Отрезок AC, соединяющий точки касания, проходит через центр M вписанной окружности треугольника XYZ. Значит, как сказано выше, описанная окружность треугольника XYZ касается описанной окружности треугольника ABC.
Замечания
1. Окружность, касающаяся двух сторон треугольника и его описанной окружности, называется полувписанной.
2. Доказательство вспомогательного утверждения и другие свойства полувписанной окружности – см., например, в книге "Математика в задачах", М.: МЦНМО, 2009, глава 4.
