ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116754
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 5
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Зайцева Ю.

Касательные, проведённые к описанной окружности остроугольного треугольника ABC в точках A и C, пересекаются в точке Z. AA1, CC1 – высоты. Прямая A1C1 пересекает прямые ZA, ZC в точках X и Y соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC и XYZ касаются.


Решение 1

  Пусть BB1 – третья высота, Ha, Hb, Hc – точки, симметричные ортоцентру H относительно соответствующих сторон треугольника ABC, M – середина стороны AC, P – точка пересечения луча MH с описанной окружностью треугольника ABC (рис. слева).

  Как известно, Ha, Hb и Hc лежат на описанной окружности треугольника ABC (см. задачу 55463).
   ∠XAC1 = ∠BCA  (как угол между касательной и хордой). С другой стороны,  ∠BCA = ∠B1C1A  (см. задачу 56508). Поэтому  B1C1 || AX.  Аналогично  B1A1 || CY.
  ∠XC1A = ∠BC1A1 = ∠BCA = ∠XAC1,  значит,  XA = XC1.  Кроме того,  MA = MC1,  следовательно, треугольники XAM и XC1M равны, то есть XM – биссектриса угла AXC1.
  Аналогично YM – биссектриса угла CYA1. Следовательно, M – центр вписанной окружности треугольника XYZ.
  Треугольники HaHbHc и A1B1C1, очевидно, гомотетичны с центром в точке H. Стороны треугольника YZX, как показано выше, параллельны соответствующим сторонам треугольника A1B1C1, поэтому треугольники HaHbHc и YZX гомотетичны.
  PZ – симедиана треугольника PAC (см. задачу 56983). В силу симметрии,  ∠PMC = ∠HbMC.  Из рис. справа ясно, что биссектриса угла APC делит пополам угол MPHb. Следовательно, Hb лежит на симедиане PZ.
  Рассмотрим гомотетию, переводящую треугольник YZX в треугольник HaHbHc. При этом описанная окружность треугольника XYZ переходит в описанную окружность треугольника ABC. H – центр вписанной окружности треугольника A1B1C1 (см. задачу 52866) и, следовательно, треугольника HaHbHc. Поэтому M переходит в H. Точка Z переходит в Hb, следовательно, центр гомотетии лежит на прямых MH и ZHb, то есть в точке P. Значит, указанные окружности касаются в точке P.


Решение 2

  Воспользуемся следующим утверждением.
  Пусть окружность касается двух сторон треугольника и его описанной окружности. Тогда отрезок, соединяющий точки касания со сторонами, содержит центр вписанной окружности (см. рис.).
  Очевидно, верно и обратное: если окружность касается двух сторон треугольника, причём отрезок, соединяющий точки касания со сторонами, содержит центр вписанной окружности, то она касается описанной окружности треугольника.
  Рассмотрим треугольник XYZ и описанную окружность треугольника ABC. Отрезок AC, соединяющий точки касания, проходит через центр M вписанной окружности треугольника XYZ. Значит, как сказано выше, описанная окружность треугольника XYZ касается описанной окружности треугольника ABC.

Замечания

1. Окружность, касающаяся двух сторон треугольника и его описанной окружности, называется полувписанной.

2. Доказательство вспомогательного утверждения и другие свойства полувписанной окружности – см., например, в книге "Математика в задачах", М.: МЦНМО, 2009, глава 4.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 10 (2012 год)
Дата 2012-04-8
класс
Класс 10-11 класс
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .