|
|
 |
Условие
Даны многочлен P(x) и такие числа a1, a2, a3, b1, b2, b3, что a1a2a3 ≠ 0. Оказалось, что P(a1x + b1) + P(a2x + b2) = P(a3x + b3) для любого действительного x. Докажите, что P(x) имеет хотя бы один действительный корень.
Решение 1
Предположим, что P(x) не имеет действительных корней. Тогда P(x) имеет чётную степень, не меньшую 2. Действительно, любой многочлен нечётной степени имеет хотя бы один действительный корень, а если P(x) = const, то из условия получаем, что P(x) ≡ 0.
Так как P(x) не имеет действительных корней, то он принимает значения одного знака. Будем считать, что P(x) > 0 (иначе умножим его на –1). Поскольку P(x) имеет чётную степень, найдётся точка t0, в которой достигается (глобальный нестрогий) минимум P(x), то есть P(x) ≥ P(t0) = A > 0. Рассмотрим такое x0, что t0 = a3x0 + b3. Тогда P(a1x0 + b1) + P(a2x0 + b2) ≥ 2A > A = P(t0) = P(a3x0 + b3). Противоречие.
Решение 2
Если a1 ≠ a3, то существует такое x0, что a1x0 + b1 = a3x0 + b3. Подставляя x = x0 в данное равенство, получаем после сокращения P(a2x0 + b2) = 0, то есть у P(x) есть корень. Аналогично рассматривается случай
a2 ≠ a3.
Остался лишь случай a1 = a2 = a3 = a ≠ 0. Пусть p0 – старший коэффициент многочлена P(x), а n – его степень. Тогда старшие коэффициенты многочленов в левой и правой частях данного равенства равны 2p0an и p0an, поэтому p0 = 0. Это значит, что P(x) ≡ 0.
