Выбрано 9 задач 
Убрать все задачи
Окружность с центром на стороне AC равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) касается сторон AB и BC.
Найдите радиус окружности, если площадь треугольника ABC равна 25, а отношение высоты BD к стороне AC равно 3 : 8.
Докажите, что если ортогональная проекция одной из вершин треугольной пирамиды на плоскость противоположной грани совпадает с точкой пересечения высот этой грани, то это же будет верно для любой другой вершины пирамиды.
Площадь прямоугольного треугольника равна r2 ,
где r – радиус окружности, касающейся одного катета и
продолжений другого катета и гипотенузы. Найдите стороны
треугольника.
Квадратная доска разделена на n² прямоугольных клеток n – 1 горизонтальными и n – 1 вертикальными прямыми. Клетки раскрашены в шахматном порядке. Известно, что на одной диагонали все n клеток чёрные и квадратные. Докажите, что общая площадь всех чёрных клеток доски не меньше общей площади белых.
Окружность ω с центром O вписана в угол BAC и касается его сторон в точках B и C. Внутри угла BAC выбрана точка Q. На отрезке AQ нашлась такая точка P, что AQ ⊥ OP. Прямая OP пересекает описанные окружности ω1 и ω2 треугольников BPQ и CPQ, вторично в точках M и N. Докажите, что OM = ON.
Прямая l проходит через точку, лежащую на окружности с центром O и радиусом r . Известно, что ортогональной проекцией прямой l на плоскость окружности является прямая, касающаяся этой окружности. Найдите расстояние от точки O до прямой l .
Решите задачу 3 для надписи A, BC, DEF, CGH, CBE, EKG.
Отрезки AM и BH – соответственно медиана и высота остроугольного треугольника ABC. Известно, что AH = 1 и 2∠MAC = ∠MCA. Найдите сторону BC.
Точка Х расположена на диаметре АВ окружности радиуса R.
Точки K и N лежат на окружности в одной полуплоскости относительно АВ,
а ∠KXA = ∠NXB = 60°. Найдите длину отрезка KN.
|
|
 |
Условие
Точка Х расположена на диаметре АВ окружности радиуса R.
Точки K и N лежат на окружности в одной полуплоскости относительно АВ,
а ∠KXA = ∠NXB = 60°. Найдите длину отрезка KN.
Решение
Рассмотрим точку K', симметричную точке K относительно диаметра АВ (см. рисунок). Она лежит на той же окружности и ∠KXA = 60°. Тогда сумма трёх углов с вершиной в точке Х (отмеченных на чертеже) равна 180°. Следовательно, точки K', X и N лежат на одной прямой.
Треугольник K'XK – равнобедренный с углом 120° при вершине. Следовательно, вписанный угол KK'N равен 30°, а центральный угол KON равен 60°. Таким образом, KN = R.
Ответ
KN = R.
