Задача 116890

Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Замечательное свойство трапеции ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Автор: Фольклор

В треугольнике ABC:  ∠B = 22,5°,  ∠C = 45°.  Докажите, что высота АН, медиана BM и биссектриса CL пересекаются в одной точке.

Решение

  Докажем сначала, что  AC || LH.

  Первый способ. Пусть DАB – внешний угол данного треугольника. Он равен 67,5° (см. рис.).

  Из прямоугольного треугольника ABH:  ∠HАB = 67,5°.  Следовательно, в точке L пересекаются внутренняя и внешняя биссектрисы треугольника ACH. Тогда HL – еще одна внешняя биссектриса треугольника ACH, значит,  ∠LHB = 45° = ∠ACB.  Следовательно,  AC || LH

  Второй способ. Заметим, что треугольник AHC – прямоугольный и равнобедренный (см. рис.).

  Так как  ∠LCB = 22,5°,  то  ∠ALC = 45°  (внешний угол треугольника BLC). Таким образом, точка L лежит на окружности с центром в точке H и радиусом HA. Значит,  ∠LHA = 2 ∠LCA = 45° = ∠СAН,  поэтому  LH || AC.

  Итак, ACHL – трапеция, а отрезки CL и AH – ее диагонали. Пусть эти диагонали пересекаются в точке E. Так как В – точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции, то прямая BE проходит через середину основания АС, то есть содержит медиану BM треугольника ABC (см. задачу 53749).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2012/13
класс
Класс	11
задача
Номер	11.4.2