ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116905
Темы:    [ Построение треугольников по различным точкам ]
[ Построения с помощью вычислений ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Формула Герона ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC провели биссектрису CL. В треугольники CAL и CBL вписали окружности, которые касаются прямой AB в точках M и N соответственно. Затем все, кроме точек A, L, M и N, стерли. С помощью циркуля и линейки восстановите треугольник.


Решение 1

  Пусть K – точка касания вписанной окружности треугольника ABC со стороной AB (K лежит на отрезке MN). Заметим, что
MK = AK – AM = ½ (AB + AC – BC) – ½ (AL + AC – LC) = ½ (BL + LC – BC) = LN.
  Пусть Ia, Ib и I – центры вписанных окружностей wa, wb и w, в треугольники ACL, BCL и ABC, соответственно. По свойству биссектрисы и теореме Фалеса имеем  AL : IL = AIa : IaI = AM : MK,  IL = AL·MK/AM.
  Итак, мы можем последовательно построить точку K, затем I (как пересечение окружности с центром L и перпендикуляра к MN в точке K), Ia и Ib (как пересечение биссектрис углов ALI и CLI с перпендикулярами к отрезку MN в его концах), окружности wa и wb и, наконец, точки C (как пересечение касательных к wa из A и L) и B (как пересечение MN с касательной к wb из точки C).


Решение 2

  Обозначим через  x = AC,  y = CL,  z = LA  длины сторон треугольника ACL, через p, S и r – его полупериметр, площадь и радиус вписанной окружности соответственно, а через h – его высоту, опущенную из вершины C; пусть  ∠ACL = 2φ.  Из формулы Герона   
  Поэтому     В треугольнике BCL угол при вершине C и высота из этой вершины такие же, следовательно,  1/AM + 1/ML = 1/LN + 1/NB.
  Таким образом, зная отрезки AM, ML, LN, мы можем найти отрезок NB и построить точку B. Из соотношений  AC – CL = AM – LM  и
BC – CL = BN – LN  находим разность  AC – BC = AM – LM – BN + LN = u,  а из равенства  AC/BC = AL/BL = v  – их отношение. Теперь можно найти длины сторон  AC = uv/v–1  и  BC = u/v–1  и построить точку C.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2012
класс
Класс 9
задача
Номер 9.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .