Задача 116912

Темы:    [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Условие

Авторы: Заславский А.А., Френкин Б.Р.

Точку внутри треугольника назовём хорошей, если длины проходящих через неё чевиан обратно пропорциональны длинам соответствующих сторон. Найдите все треугольники, для которых число хороших точек – максимально возможное.

Решение

  Пусть AA₁, BB₁, CC₁ – высоты треугольника ABC, H – его ортоцентр. Рассмотрим любую хорошую точку P; пусть AA_p, BB_p, CC_p – проходящие через неё чевианы. Тогда  AA_p : AA₁ = BB_p : BB₁ = CC_p : CC₁;  значит, прямоугольные треугольники AA₁A_p, BB₁B_p и CC₁C_p подобны, поэтому
∠A₁AA_p = ∠B₁BB_p = ∠C₁CC_p.  При этом возможны два различных случая ориентации этих углов. (Напомним, что ориентированным углом  ∠(l, m)  называется угол, на который надо повернуть против часовой стрелки прямую l, чтобы она стала параллельна m.)
  1)  ∠(A₁A, AA_p) = ∠(B₁B, BB_p) = ∠(C₁C, CC_p)  (отсюда, в частности, следует, что треугольник ABC остроугольный; действительно, если, скажем, угол A не острый, то углы B₁BB_p и C₁CC_p острые и ориентированы по-разному). Из первого равенства следует, что точки P, H. A, B лежит на одной окружности; аналогично точка P лежит на окружностях, описанных около треугольников ACH и BCH. Но эти три окружности имеют ровно одну общую точку H; значит, P совпадает с H.

  2) Два из трёх ориентированных углов равны, а третий (для определённости,  ∠(C₁C, CC_p))  им противоположен. Тогда, как и в первом случае, точка P лежит на описанной окружности Ω_C треугольника ABH (поскольку  ∠(AH, HB) = – ∠(AC, CB),  эта окружность симметрична описанной окружности Ω треугольника ABC относительно прямой AB). Пусть прямая CH вторично пересекает Ω_C в точке X (тогда точки C и X симметричны относительно AB; на рисунках показаны две таких потенциально возможных конфигурации).

           

  Значит,  ∠(PX, XC) = ∠(PB, BH) = – ∠(PC, CX);  если эти углы ненулевые, то это означает, что треугольник PCX равнобедренный,  PC = PX.  Но тогда точка P лежит на серединном перпендикуляре AB к отрезку CX, что невозможно. Значит,  ∠(PB, BH) = 0,  и  P = H.
  Таким образом, хорошей точкой может быть только ортоцентр треугольника (и в остроугольном треугольнике он ею, очевидно, является). Следовательно, в остроугольном треугольнике хорошая точка одна, а в неостроугольном – ни одной.

Ответ

Все остроугольные треугольники.

Замечания

Для знатоков. В случае 2 возможно такое рассуждение. Геометрическим местом точек P, удовлетворяющих одному равенству
∠(B₁B, BB_p) = ∠(C₁C, CC_p),  является описанная около треугольника ABC равносторонняя гипербола. Две таких гиперболы могут иметь максимум четыре общих точки, и эти точки – A, B, C и H.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2012
класс
Класс	10
задача
Номер	10.2