ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116912
Темы:    [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 4
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точку внутри треугольника назовём хорошей, если длины проходящих через неё чевиан обратно пропорциональны длинам соответствующих сторон. Найдите все треугольники, для которых число хороших точек – максимально возможное.


Решение

  Пусть AA1, BB1, CC1 – высоты треугольника ABC, H – его ортоцентр. Рассмотрим любую хорошую точку P; пусть AAp, BBp, CCp – проходящие через неё чевианы. Тогда  AAp : AA1 = BBp : BB1 = CCp : CC1;  значит, прямоугольные треугольники AA1Ap, BB1Bp и CC1Cp подобны, поэтому
A1AAp = ∠B1BBp = ∠C1CCp.  При этом возможны два различных случая ориентации этих углов. (Напомним, что ориентированным углом  ∠(l, m)  называется угол, на который надо повернуть против часовой стрелки прямую l, чтобы она стала параллельна m.)
  1)  ∠(A1A, AAp) = ∠(B1B, BBp) = ∠(C1C, CCp)  (отсюда, в частности, следует, что треугольник ABC остроугольный; действительно, если, скажем, угол A не острый, то углы B1BBp и C1CCp острые и ориентированы по-разному). Из первого равенства следует, что точки P, H. A, B лежит на одной окружности; аналогично точка P лежит на окружностях, описанных около треугольников ACH и BCH. Но эти три окружности имеют ровно одну общую точку H; значит, P совпадает с H.

  2) Два из трёх ориентированных углов равны, а третий (для определённости,  ∠(C1C, CCp))  им противоположен. Тогда, как и в первом случае, точка P лежит на описанной окружности ΩC треугольника ABH (поскольку  ∠(AH, HB) = – ∠(AC, CB),  эта окружность симметрична описанной окружности Ω треугольника ABC относительно прямой AB). Пусть прямая CH вторично пересекает ΩC в точке X (тогда точки C и X симметричны относительно AB; на рисунках показаны две таких потенциально возможных конфигурации).
           
  Значит,  ∠(PX, XC) = ∠(PB, BH) = – ∠(PC, CX);  если эти углы ненулевые, то это означает, что треугольник PCX равнобедренный,  PC = PX.  Но тогда точка P лежит на серединном перпендикуляре AB к отрезку CX, что невозможно. Значит,  ∠(PB, BH) = 0,  и  P = H.
  Таким образом, хорошей точкой может быть только ортоцентр треугольника (и в остроугольном треугольнике он ею, очевидно, является). Следовательно, в остроугольном треугольнике хорошая точка одна, а в неостроугольном – ни одной.


Ответ

Все остроугольные треугольники.

Замечания

Для знатоков. В случае 2 возможно такое рассуждение. Геометрическим местом точек P, удовлетворяющих одному равенству
∠(B1B, BBp) = ∠(C1C, CCp),  является описанная около треугольника ABC равносторонняя гипербола. Две таких гиперболы могут иметь максимум четыре общих точки, и эти точки – A, B, C и H.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2012
класс
Класс 10
задача
Номер 10.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .