ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116992
Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

В треугольнике АВС проведена биссектриса АА1. Докажите, что серединный перпендикуляр к АА1, перпендикуляр к ВС, проходящий через точку А1, и прямая АО (О – центр описанной окружности) пересекаются в одной точке.


Решение

  Пусть перпендикуляр к ВС, проходящий через точку А1, пересекает АО в точке Q. Далее можно рассуждать по-разному.

  Первый способ. Из вершины А проведём высоту треугольника АВС, а через точку А1 – прямую, параллельную АО, которая пересечёт высоту в точке Р (рис. слева). Тогда четырёхугольник АРА1Q – параллелограмм.
  Этот параллелограмм является ромбом, так как прямые АО и АН (Н – ортоцентр треугольника АВС) симметричны относительно биссектрисы АА1 (см. решение задачи 116989), то есть диагональ АА1 параллелограмма АРА1Q является биссектрисой его угла.
  Следовательно, диагональ PQ является серединным перпендикуляром к отрезку АА1, то есть три прямые, указанные в условии, пересекаются в точке Q.

           

  Второй способ. Продлим биссектрису АА1 до пересечения с описанной окружностью треугольника АВС, в точке W (рис. справа). Тогда  OWBC  и серединный перпендикуляр OK к отрезку AW содержит диаметр окружности (K – середина AW).
  Так как  A1Q || WO,  то при гомотетии с центром А, переводящей точку O в точку Q, образом точки W является точка А1. Следовательно, образом прямой OK при этой гомотетии является прямая QN, также перпендикулярная АА1, причём образом точки K является середина N отрезка АА1. Таким образом, три прямые, указанные в условии задачи, пересекаются в точке Q.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2012/13
класс
1
Класс 10
задача
Номер 10.3.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .