Задача 116992

Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Фольклор

В треугольнике АВС проведена биссектриса АА₁. Докажите, что серединный перпендикуляр к АА₁, перпендикуляр к ВС, проходящий через точку А₁, и прямая АО (О – центр описанной окружности) пересекаются в одной точке.

Решение

  Пусть перпендикуляр к ВС, проходящий через точку А₁, пересекает АО в точке Q. Далее можно рассуждать по-разному.

  Первый способ. Из вершины А проведём высоту треугольника АВС, а через точку А₁ – прямую, параллельную АО, которая пересечёт высоту в точке Р (рис. слева). Тогда четырёхугольник АРА₁Q – параллелограмм.
  Этот параллелограмм является ромбом, так как прямые АО и АН (Н – ортоцентр треугольника АВС) симметричны относительно биссектрисы АА₁ (см. решение задачи 116989), то есть диагональ АА₁ параллелограмма АРА₁Q является биссектрисой его угла.
  Следовательно, диагональ PQ является серединным перпендикуляром к отрезку АА₁, то есть три прямые, указанные в условии, пересекаются в точке Q.

           

  Второй способ. Продлим биссектрису АА₁ до пересечения с описанной окружностью треугольника АВС, в точке W (рис. справа). Тогда  OW ⊥ BC  и серединный перпендикуляр OK к отрезку AW содержит диаметр окружности (K – середина AW).
  Так как  A₁Q || WO,  то при гомотетии с центром А, переводящей точку O в точку Q, образом точки W является точка А₁. Следовательно, образом прямой OK при этой гомотетии является прямая QN, также перпендикулярная АА₁, причём образом точки K является середина N отрезка АА₁. Таким образом, три прямые, указанные в условии задачи, пересекаются в точке Q.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2012/13
класс
	1
Класс	10
задача
Номер	10.3.2