Задача 117007

Темы:    [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Углы между биссектрисами ]

Сложность: 3+ Классы: 5,6,7

Условие

Автор: Мухин Д.Г.

Биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке I,  ∠ABC = 120°.  На продолжениях сторон AB и CB за точку B отмечены соответственно точки P и Q так, что  AP = CQ = AC.  Докажите, что угол PIQ – прямой.

Решение 1

  Заметим, что  ∠ABQ = ∠CBP = ∠ABI = ∠CBI = 60°.

  Пусть  ∠BAC = 2x,  а  ∠BCA = 2y,  тогда (из треугольника ABC)  2x + 2y + 120° = 180°,  то есть  x + y = 30°.
  Треугольники ACI и QCI равны (по первому признаку), поэтому  ∠CQI = ∠CAI = x.  Из треугольника QBI:  ∠QIB = 180° – 120° – x = 60° – x. Аналогично  PIB = 60° – y.
  Таким образом,  ∠PIQ = ∠PIB + ∠QIB = (60° – y) + (60° – x) = 120° – (x + y) = 120° – 30° = 90°.

Решение 2

  Пусть биссектриса CI пересекает AQ в точке M (см. рис.).

Эта биссектриса – ось симметрии угла C, точки A и Q симметричны относительно неё, значит, углы AIM и QIM равны.
  ∠AIC = 90° + 60° = 150°  (см. задачу 55448), поэтому  ∠AIM = 30°,  а  ∠AIQ = 2∠AIM = 60°.
  Аналогично  ∠CIP = 60°,  и  ∠PIQ = 180° – ∠MIQ – ∠CIP = 180° – 30° – 60° = 90°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада для 6-7 классов
год/номер
Номер	11 (2013 год)
Дата	2013-03-17
класс
	1
Класс	7 класс
задача
Номер	7.8