На книжной полке стоят 30 томов энциклопедии в некотором порядке. За одну операцию разрешается менять местами любые два соседних тома. За какое наименьшее число операций можно гарантированно выстроить все тома в правильном порядке (с первого по тридцатый слева направо) независимо от начального положения?

   Решение

Жили-были двадцать шпионов. Каждый из них написал донос на десять своих коллег.
Докажите, что не менее, чем десять пар шпионов донесли друг на друга.

   Решение

В прямоугольном треугольнике ABC  (∠B = 90°)  проведена высота BH. Окружность, вписанная в треугольник ABH, касается сторон AB, AH в точках H₁, B₁ соответственно; окружность, вписанная в треугольник CBH, касается сторон CB, CH в точках H₂, B₂ соответственно. Пусть O – центр описанной окружности треугольника H₁BH₂. Докажите, что  OB₁ = OB₂.

   Решение

В ориентированном графе 101 вершина. У каждой вершины число входящих и число выходящих рёбер равно 40.

Доказать, что из каждой вершины можно попасть в любую другую, пройдя не более чем по трём ребрам.

   Решение

В стране есть  n > 1  городов, некоторые пары городов соединены двусторонними беспосадочными авиарейсами. При этом между каждыми двумя городами существует единственный авиамаршрут (возможно, с пересадками). Мэр каждого города X подсчитал количество таких нумераций всех городов числами от 1 до n, что на любом авиамаршруте, начинающемся в X, номера городов идут в порядке возрастания. Все мэры, кроме одного, заметили, что их результаты подсчётов делятся на 2016. Докажите, что и у оставшегося мэра результат также делится на 2016.

   Решение

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ точки $K$, $L$, $M$, $N$ – середины сторон $BC$, $CD$, $DA$, $AB$ соответственно. Отрезки $AK$, $BL$, $CM$, $DN$, пересекаясь, делят друг друга на три части. Оказалось, что отношение длины средней части к длине всего отрезка одно и то же для всех четырех отрезков. Верно ли, что $ABCD$ – параллелограмм?

   Решение

Средняя линия трапеции равна 10 и делит площадь трапеции в отношении 3:5. Найдите основания трапеции.

   Решение

Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке P, причем  S_ABP² + S_CDP² = S_BCP² + S_ADP². Докажите, что P — середина одной из диагоналей.

   Решение

Сколько существует шестизначных чисел, у которых по три чётных и нечётных цифры?

   Решение

Темы:    [ Сочетания и размещения ] [ Задачи с ограничениями ] [ Правило произведения ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 3- Классы: 7,8

Прислать комментарий

Условие

Сколько существует шестизначных чисел, у которых по три чётных и нечётных цифры?

Решение

На первое место можно поставить любую из 9 ненулевых цифр. Из оставшихся 5 мест выберем два  (5·4 : 2 = 10  способов). На эти два места поставим цифры той же чётности, что и первая (5² способов), на остальные три места – цифры другой чётности (5³ способов). Итого,  9·10·5⁵ способов.

Ответ

90·5⁵ = 281250  чисел.

Источники и прецеденты использования