Докажите, что  ABC > 90^o тогда и только тогда, когда точка B лежит внутри окружности с диаметром AC.

   Решение

Две окружности пересекаются в точках P и Q. Через точку A первой окружности проведены прямые AP и AQ, пересекающие вторую окружность в точках B и C. Докажите, что касательная в точке A к первой окружности параллельна прямой BC.

   Решение

Из общей точки проведены к окружности две касательные. Радиус окружности равен 11, а сумма касательных равна 120.
Найдите расстояние от центра до общей точки касательных.

   Решение

Пусть связный плоский граф с V вершинами и E рёбрами разрезает плоскость на F кусков. Докажите формулу Эйлера:  V – E + F = 2.

   Решение

Темы:    [ Планарные графы. Формула Эйлера ] [ Деревья ] [ Инварианты ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9 Название задачи: Формула Эйлера.

Прислать комментарий

Условие

Пусть связный плоский граф с V вершинами и E рёбрами разрезает плоскость на F кусков. Докажите формулу Эйлера:  V – E + F = 2.

Решение

Будем удалять рёбра по одному, пока граф не превратится в дерево (как в задаче 31098 а). На каждом шаге число как число рёбер, так и число кусков уменьшается на 1 (при удалении ребра два примыкающих к нему куска сливаются в один). Поэтому величина  V – E + F  не меняется. Но для полученного дерева она равна 2, поскольку  E = V – 1  (см. задачу 31098 б), а  F = 1.

Источники и прецеденты использования