Найдите  (xⁿ – 1, x^m – 1).

   Решение

Есть 20 карточек, у каждой из которых на двух сторонах написано по числу. При этом все числа от 1 до 20 написаны по два раза.
Доказать, что карточки можно разложить так, чтобы все числа сверху были различны.

   Решение

Криволинейный многоугольник – это многоугольник, стороны которого – дуги окружностей. Существуют ли такой криволинейный многоугольник P и такая точка A на его границе, что каждая прямая, проходящая через точку A, делит периметр многоугольника P на два куска равной длины?

   Решение

Разрежьте круг на несколько равных частей так, чтобы центр круга не лежал на границе хотя бы одной из них.

   Решение

Пусть  (P(x), Q(x)) = D(x).
Докажите, что существуют такие многочлены U(x) и V(x), что  degU (x) < deg Q(x),  deg V(x) < deg P(x)  и   P(x)U(x) + Q(x)V(x) = D(x).

   Решение

Докажите, что  x² + y² + z² ≥ xy + yz + zx  при любых x, y, z.

   Решение

Темы:    [ Неравенство Коши ] [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что  x² + y² + z² ≥ xy + yz + zx  при любых x, y, z.

Решение

Достаточно сложить три неравенства:  ½ (x² + y²) ≥ xy,  ½ (x² + z²) ≥ xz  и  ½ (y² + z²) ≥ yz.

Источники и прецеденты использования