Задача 31255

Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Десятичная система счисления ] [ Признаки делимости (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 6,7,8

Условие

Доказать, что
  а) Степень двойки не может оканчиваться на четыре одинаковых цифры.
  б) Квадрат не может состоять из одинаковых цифр (если он не однозначный).
  в) Квадрат не может оканчиваться на четыре одинаковых цифры.

Решение

  a) См. задачу 78692.

  б) Квадрат не может оканчиваться на 2, 3, 7 и 8.
  Числа вида 2...2, 6...6 чётны, но не делятся на 4.
  Числа вида 5...5 делятся на 5, но не делятся на 25.
  Числа вида 1...1 и 9...9 – не квадраты согласно задаче 31234.
  Если число вида 4...4 – квадрат, то и соответствующее число 1...1 – квадрат, что не так.

  в) См. задачу 60687.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Иванов С.В.
Название	Математический кружок
глава
Номер	11
Название	Остатки
Тема	Деление с остатком
задача
Номер	25