Задача 32085

Темы:    [ Задачи на движение ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Ломаные внутри квадрата ] [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

В центре квадратного пруда плавает ученик. Внезапно к вершине квадрата подошёл учитель. Учитель не умеет плавать, но бегает в 4 раза быстрее, чем ученик плавает. Ученик бегает быстрее. Сможет ли он убежать?

Решение

  Обозначим квадрат пруда ABCD, его центр O. Предположим, учитель подошёл к вершине C. Будем обозначать положение ученика точкой M, а учителя – точкой U. Пусть M₁ и M₂ – проекции точки M на стороны AB и AD соответственно, а U₁ – точка, симметричная U относительно O (см. рис.).

  Ученик должен плыть по направлению к вершине A до тех пор, пока точка U₁ остаётся внутри угла M₁MM₂. Как только точка U₁ совпадёт с одной из точек M₁ или M₂, ученик поворачивает в направлении этой точки. Чтобы доплыть до берега ему надо проплыть меньше половины длины стороны квадрата. Учителю же нужно пробежать половину периметра квадрата, что в 4 с лишним раза больше. Поэтому ученик доплывёт до берега раньше, чем учитель доберётся до этой точки.

Ответ

Сможет.

Замечания

1. Источник решения: книга В.О. Бугаенко. "Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике". МЦНМО-ЧеРо. 1998.

2. Ср. с задачей 102866.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
год/номер
Номер	10
Дата	1987
задача
Номер	09