ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 32085
Темы:    [ Задачи на движение ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
[ Ломаные внутри квадрата ]
[ Теория игр (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В центре квадратного пруда плавает ученик. Внезапно к вершине квадрата подошёл учитель. Учитель не умеет плавать, но бегает в 4 раза быстрее, чем ученик плавает. Ученик бегает быстрее. Сможет ли он убежать?


Решение

  Обозначим квадрат пруда ABCD, его центр O. Предположим, учитель подошёл к вершине C. Будем обозначать положение ученика точкой M, а учителя – точкой U. Пусть M1 и M2 – проекции точки M на стороны AB и AD соответственно, а U1 – точка, симметричная U относительно O (см. рис.).

  Ученик должен плыть по направлению к вершине A до тех пор, пока точка U1 остаётся внутри угла M1MM2. Как только точка U1 совпадёт с одной из точек M1 или M2, ученик поворачивает в направлении этой точки. Чтобы доплыть до берега ему надо проплыть меньше половины длины стороны квадрата. Учителю же нужно пробежать половину периметра квадрата, что в 4 с лишним раза больше. Поэтому ученик доплывёт до берега раньше, чем учитель доберётся до этой точки.


Ответ

Сможет.

Замечания

1. Источник решения: книга В.О. Бугаенко. "Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике". МЦНМО-ЧеРо. 1998.

2. Ср. с задачей 102866.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
год/номер
Номер 10
Дата 1987
задача
Номер 09

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .