Задача 32088

Темы:    [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Индукция (прочее) ] [ Интерполяционный многочлен Лагранжа ] [ Интерполяционный многочлен Ньютона ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Известно, что некоторый многочлен в рациональных точках принимает рациональные значения.
Докажите, что все его коэффициенты рациональны.

Решение

  Индукцией по n докажем более сильное утверждение:
      если многочлен степени n принимает рациональные значения в  n + 1  рациональной точке, то его коэффициенты рациональны.
  База. Для любого многочлена нулевой степени (константы) утверждение очевидно.
  Шаг индукции. Пусть многочлен P(x) степени n принимает рациональные значения в рациональных точках x₀, x₁, ..., x_n. По теореме Безу (см. задачу 60965)
      P(x) – P(x₀) = (x – x₀)Q(x),     (*)
где Q(x) – некоторый многочлен степени  n – 1.  Значения в точках x₁, ..., x_n рациональны:      Согласно предположению индукции все коэффициенты многочлена Q(x) рациональны. Раскрывая скобки в равенстве (*), получаем, что и все коэффициенты многочлена P(x) рациональны.

Замечания

Воспользовавшись одной из формул для интерполяционного многочлена (см. задачу 61448 или задачу 61052), можно восстановить многочлен P(x) степени n по его значениям в точках 0, 1, ..., n. Легко видеть, что коэффициенты в полученных выражениях рациональны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
год/номер
Номер	10
Дата	1987
задача
Номер	12