Задача 61052

Тема:    [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Пусть  x₁ < x₂ < ... < x_n  – действительные числа. Докажите, что для любых  y₁, y₂, ..., y_n  существует единственнный многочлен  f(x) степени не выше  n – 1,  такой, что  f(x₁) = y₁, ...,  f(x_n) = y_n.

Решение

f(x) = y₁f₁(x) + ... + y_nf_n(x),  где многочлены  f_i(x) построены в задаче 61050.  Если таких многочленов два, то их разность будет многочленом степени не выше  n – 1  с n корнями, то есть тождественно равна нулю.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	6
Название	Интерполяционный многочлен Лагранжа
Тема	Многочлены (прочее)
задача
Номер	06.129