Задача 32899

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Перегруппировка площадей ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Авторы: Николаев С.А., Ивлев Ф.

Дан правильный 4n-угольник A₁A₂...A_4n площади S, причём  n > 1.  Найдите площадь четырёхугольника A₁A_nA_{n +1}A_n+2.

Решение

A₁ и A_2n+1 – противоположные вершины многоугольника. Следовательно, диагональ A₁A_2n+1 проходит через центр O (см. рисунок).
В силу равенства дуг A₁A_n и A_n+2A_2n+1 описанной окружности  A₁A_2n+1 || A_nA_n+2.  Значит, площади треугольников A₁A_nA_n+2 и OA_nA_{n +2} равны. Отсюда  S_A1AnAn+1An+2 = S_OAnAn+1An+2 = ^S/_2n .

Ответ

^S/_2n.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2013
Номер	76
класс
Класс	10
задача
Номер	3