Можно ли замостить доминошками 1×2 шахматную доску 8×8, из которой вырезаны
  а) клеточки b3 и e7;
  б) два противоположных угловых поля (a1 и h8)?

   Решение

На одной прямой взяты точки A₁, B₁ и C₁, а на другой — точки A₂, B₂ и C₂. Прямые A₁B₂ и A₂B₁, B₁C₂ и B₂C₁, C₁A₂ и C₂A₁ пересекаются в точках C, A и B соответственно. Докажите, что точки A, B и C лежат на одной прямой (Папп).

   Решение

На сторонах AB, BC и CD четырехугольника ABCD (или на их продолжениях) взяты точки K, L и M. Прямые KL и AC пересекаются в точке P, LM и BD — в точке Q. Докажите, что точка пересечения прямых KQ и MP лежит на прямой AD.

   Решение

Вася шёл от дома до автобусной остановки пешком со скоростью 4 км/ч, затем ехал на автобусе до школы со скоростью 30 км/ч и затратил на весь путь 1 час. Обратно из школы он ехал на автобусе со скоростью 36 км/ч и шёл пешком от остановки до дома со скоростью 3 км/ч. На обратную дорогу он потратил 1 час 5 мин. Найти путь, который Вася проехал на автобусе, и расстояние от дома до остановки.

   Решение

Темы:    [ Задачи на движение ] [ Обыкновенные дроби ]

Сложность: 3 Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

Вася шёл от дома до автобусной остановки пешком со скоростью 4 км/ч, затем ехал на автобусе до школы со скоростью 30 км/ч и затратил на весь путь 1 час. Обратно из школы он ехал на автобусе со скоростью 36 км/ч и шёл пешком от остановки до дома со скоростью 3 км/ч. На обратную дорогу он потратил 1 час 5 мин. Найти путь, который Вася проехал на автобусе, и расстояние от дома до остановки.

Решение

Когда Вася шёл в школу, он проходил километр за 15 минут, а когда возвращался обратно – за 20 минут. Если бы он не уменьшил скорость, а увеличил бы её в  ³⁶/₃₀ = ⁶/₅  раза (то есть проходил бы километр за  ⁵/₆·15 = 12,5  минут, то он потратил бы на всю дорогу ⁵/₆ часа, то есть 50 минут, что на 15 минут быстрее, чем на самом деле. Поскольку на километр от тратил на  20 – 12,5 = 7,5  минут больше, то расстояние до остановки равно 2 км. По дороге в школу он прошёл его за полчаса. Значит, и на автобусе он ехал полчаса, то есть проехал 15 км.

Ответ

15 км; 2 км.

Замечания

Разумеется, можно составить уравнение или систему, например,   ⁴/₃ t + ⁵/₆ (1 – t) = 1¹/₁₂.

Источники и прецеденты использования